Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento

Las coordenadas de un vector pueden ser interpretadas mediante una traslación en la que escogemos como representante de este vector. ¿Qué relaciones asocian las coordenadas de y las de A y B? A partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento si conocemos sus extremos?

I. Calcular las coordenadas de un vector
1. La fórmula de cálculo
Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; si tenemos dos puntos A (xA, yA) y B (xB, yB) cualesquiera, las coordenadas del vector vienen dadas por la fórmula (xB-xA, yB-yA).
Ejemplo: Si tenemos los puntos A (2, –4) y B (–3, –1), calcular las coordenadas del vector .
Aplicando la fórmula, podemos escribir (-3-2, -1-(-4)), de manera que las coordenadas de son (-5, 3).
Podemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfica restando las coordenadas de los puntos A y B:

2. Aplicación
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos E (–3, 1), F (3, 5), G (4, 2) y H (–2, –2), y comprueba que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

Solución: simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial: = . Para hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dos vectores.
(3-(-3), 5-1), de forma que (6, 4).
(4-(-2), 2-(-2)), de manera que (6, 4).
Los vectores y tienen las mismas coordenadas.
Aceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.
Por consiguiente, = , de forma que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo.

II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
1. La fórmula de cálculo
A (xA, yA) y B (xB, yB) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Si llamamos M al punto medio del segmento AB, entonces:

Demostración: si M es el punto medio de AB, entonces = . Los vectores y tienen la misma dirección, de manera que A, M y B están alineados. Ambos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto que MA = MB. Por consiguiente, estos dos vectores son iguales.

Llamemos a las coordenadas de M (x, y), y escribamos las coordenadas de los vectores y :
(x – xA, y – yA) y (xB – x, yB– y).
Puesto que los vectores y son iguales, podemos escribir que sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, hemos encontrado que x – xA = xB – x e y – yA = yB – y.
Estas dos ecuaciones son equivalentes a:
2x = xA+ xB y 2y = yA+ yB, de manera que e .
Por consiguiente, tenemos: .
Ejemplo: U (–3, 2) y T (5, 4) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianas Oxy. Calcular las coordenadas del punto medio H del segmento UT.
Aplicando la fórmula anterior, podemos escribir: , a partir de la cual encontramos que H (1, 3).
Podemos verificar estos cálculos representando los puntos en el sistema de coordenadas.

2. Aplicación
La fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos ofrece una vía alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianas Oxy; dibuja los puntos K (–4, –1), L (–2, 3), M (6, 5) y N (4, 1), y demuestra que el cuadrilátero KLMN es un paralelogramo.

Solución: vamos a demostrar que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio. Para hacerlo, llamaremos P al punto medio de KM y R al punto medio de LN y calcularemos las coordenadas de estos dos puntos:
, por lo tanto P (1, 2).
, por lo tanto R (1, 2).
Como los puntos P y R tienen las mismas coordenadas, son coincidentes. A partir de aquí podemos formular que los segmentos KM y LN tienen el mismo punto medio.
Las diagonales del cuadrilátero KLMN tienen el mismo punto medio, por consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo. Ver artículo Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales.