Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones.

I. Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica

Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisa x
. El dominio de definición es el conjunto de estas abscisas o valores de x. Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos.
Ejemplo: la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisa x está comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos: .

II. Construir la tabla de variación de una función a partir de su representación gráfica

Una función es creciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalo aumentan.
Una función es decreciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalo disminuyen.
Una función es constante en un intervalo I, si su representación gráfica es un segmento horizontal.
Ejemplo:

La gráfica anterior representa una función f que es:
—decreciente para el intervalo [-3, 2];
—constante para el intervalo [2, 3];
—creciente para el intervalo [3, 6].
La función alcanza su valor mínimo en el intervalo [2, 3].
Resumimos esta información en una tabla de variación:

III. Deducir las soluciones de una ecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la ecuación f(x) = k son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) = 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica de la función f corta al eje horizontal o eje de abscisas.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.
El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 4 es: S = {-2, 3}.
El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 0 es: S = {-1, 2}.
Las soluciones de la ecuación f(x) = g(x) son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la gráfica que representa a g.
Ejemplo: la curva C es la representación gráfica de una función f y la recta D representa una función g. El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = g(x) es: S = {0, 3}.

IV. Deducir las soluciones de una inecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la inecuación f(x) < k son las abscisas x de los puntos de la gráfica de la función f situados por debajo de la recta de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) < 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos de la gráfica de f situados por debajo del eje horizontal.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.
El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) > -2 es: .
El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) < 0 es: 
Las soluciones de la inecuación f(x) < g(x) son las abscisas x de los puntos de la gráfica que representa a f situados por debajo de la gráfica que representa a g.
Recuerda
—Para determinar el dominio de definición de una función, se leen los valores de las abscisas x de los puntos de la representación gráfica. Dicho dominio se escribe como un intervalo o unión de intervalos.
—Para conocer el sentido de variación en un intervalo, se recorre la representación gráfica de izquierda a derecha y se observa si los valores de las ordenadas aumentan o disminuyen.
—Para hallar las soluciones de una ecuación de la forma f(x) = k, se leen las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k. En el caso de una inecuación f(x) < k, se leen las abscisas x de los puntos situados bajo la recta de ecuación y = k.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

El estudio gráfico de una función es una herramienta valiosa para comprender su comportamiento y características a través de su representación en el plano cartesiano. Al realizar el estudio gráfico de una función, podemos visualizar su forma, sus puntos importantes, sus tendencias y analizar su comportamiento para diferentes valores de la variable independiente "x".

Para llevar a cabo el estudio gráfico de una función, sigue estos pasos:

1. Determinar el dominio y el codominio: Identifica el conjunto de valores permitidos para la variable independiente "x" (dominio) y el conjunto de posibles valores de la variable dependiente "y" (codominio).
2. Encontrar puntos clave: Calcula algunos puntos clave de la función para graficarlos. Puedes hacerlo evaluando la función para diferentes valores de "x".
3. Graficar los puntos clave: Ubica los puntos encontrados en el plano cartesiano, utilizando "x" en el eje horizontal y "y" en el eje vertical.
4. Determinar la tendencia de la función: Observa cómo se comporta la función a medida que "x" se acerca a infinito positivo o negativo. También considera si la función presenta simetrías o puntos de interés, como máximos o mínimos.
5. Identificar asíntotas: Verifica si la función tiene asíntotas, que son líneas rectas que la función se acerca infinitamente sin cruzar.
6. Interpretar el gráfico: A partir del gráfico obtenido, interpreta la información relevante sobre el comportamiento de la función y su relación con el dominio y el codominio.

Es importante recordar que el estudio gráfico de una función nos proporciona una representación visual de su comportamiento, lo que nos permite obtener una comprensión más profunda de sus características. Además, el análisis gráfico es especialmente útil para identificar tendencias y patrones que pueden no ser evidentes solo con la ecuación algebraica.