Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones.

I. Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica

Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisa x. El dominio de definición es el conjunto de estas abscisas o valores de x. Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos.
Ejemplo: la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisa x está comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos: .

II. Construir la tabla de variación de una función a partir de su representación gráfica

Una función es creciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a losvalores que toma x en dicho intervaloaumentan.
Una función es decreciente en un intervalo I, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenes y correspondientes a los valores que toma x en dicho intervalodisminuyen.
Una función es constante en un intervalo I, si su representación gráfica es un segmento horizontal.
Ejemplo:

La gráfica anterior representa una función f que es:
—decreciente para el intervalo [-3, 2];
—constante para el intervalo [2, 3];
—creciente para el intervalo [3, 6].
La función alcanza su valor mínimo en el intervalo [2, 3].
Resumimos esta información en una tabla de variación:

III. Deducir las soluciones de una ecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la ecuación f(x) = k son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) = 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica de la función f corta al eje horizontal o eje de abscisas.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.
El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 4 es: S = {-2, 3}.
El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = 0 es: S = {-1, 2}.
Las soluciones de la ecuación f(x) = g(x) son las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la gráfica que representa a g.
Ejemplo: la curva C es la representación gráfica de una función f y la recta D representa una función g. El conjunto de soluciones de la ecuación f(x) = g(x) es: S = {0, 3}.

IV. Deducir las soluciones de una inecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la inecuación f(x) < k son las abscisas x de los puntos de la gráfica de la función f situados por debajo de la recta de ecuación y = k.
En el caso particular de la ecuación f(x) < 0, las soluciones son las abscisas x de los puntos de la gráfica de f situados por debajo del eje horizontal.
Ejemplo:

La curva C representa una función f.
El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) > -2 es: .
El conjunto de soluciones de la inecuación f(x) < 0 es: 
Las soluciones de la inecuación f(x) < g(x) son las abscisas x de los puntos de la gráfica que representa a f situados por debajo de la gráfica que representa a g.
Recuerda
—Para determinar el dominio de definición de una función, se leen los valores de las abscisas x de los puntos de la representación gráfica. Dicho dominio se escribe como un intervalo o unión de intervalos.
—Para conocer el sentido de variación en un intervalo, se recorre la representación gráfica de izquierda a derecha y se observa si los valores de las ordenadas aumentan o disminuyen.
—Para hallar las soluciones de una ecuación de la forma f(x) = k, se leen las abscisas x de los puntos en los que la gráfica que representa a la función f corta a la recta horizontal de ecuación y = k. En el caso de una inecuación f(x) < k, se leen las abscisas x de los puntos situados bajo la recta de ecuación y = k.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

El estudio gráfico de una función es una técnica importante en matemáticas que nos permite analizar y comprender el comportamiento de una función mediante la representación visual de su gráfica en el plano cartesiano. Al realizar el estudio gráfico de una función, obtenemos información valiosa sobre sus características, como la tendencia general, los puntos críticos, los intervalos de crecimiento o decrecimiento, y los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Para llevar a cabo el estudio gráfico de una función, generalmente seguimos los siguientes pasos:

1. Dominio y Rango: Identificar el dominio (conjunto de valores de "x" para los cuales la función está definida) y el rango (conjunto de valores de "y" que la función puede tomar).
2. Simetría: Determinar si la función tiene alguna simetría respecto al eje "y" (simetría par) o al origen (simetría impar).
3. Intersecciones con los Ejes: Encontrar los puntos de intersección con los ejes coordenados. Para esto, buscamos los valores de "x" que hacen que "y" sea cero (intersección con el eje "x") y el valor de "y" cuando "x" es cero (intersección con el eje "y").
4. Asíntotas: Identificar si la función tiene algún tipo de asíntota, que son líneas horizontales o verticales que la gráfica se acerca infinitamente pero nunca cruza.
5. Puntos Críticos: Encontrar los puntos críticos de la función, que son los puntos donde la pendiente de la gráfica es cero o la función no está definida.
6. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento: Determinar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.
7. Concavidad y Puntos de Inflexión: Analizar la concavidad de la gráfica y encontrar los puntos de inflexión, que son los puntos donde la concavidad cambia.
8. Comportamiento Asintótico: Estudiar el comportamiento de la función para valores muy grandes o muy pequeños de "x" y si se aproxima a algún valor o infinito.

Al representar gráficamente una función, podemos visualizar todas estas características y obtener una comprensión más profunda de su comportamiento. Las herramientas gráficas, como las gráficas en el plano cartesiano, son fundamentales para el análisis y estudio de funciones en matemáticas y otras ciencias.