¿Qué es Teorema de Rouché-Frobenius?
El Teorema de Rouché-Frobenius (también conocido como Teorema de Rouché-Capelli) es un teorema fundamental en álgebra lineal que determina la existencia y el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Establece que un sistema de *m* ecuaciones lineales con *n* incógnitas tiene solución (es compatible) si y solo si el rango de la matriz de coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (A|b), donde b es el vector de términos independientes. Además, si el sistema es compatible, la cantidad de soluciones depende de la relación entre este rango (r) y el número de incógnitas (n): * Si r = n, el sistema tiene una única solución (sistema compatible determinado). * Si r < n, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado). Las infinitas soluciones dependen de n - r parámetros.
Fórmula Matemática
Ejemplo Resuelto
Consideremos el sistema: x + y = 3 2x + 2y = 6 La matriz de coeficientes A es [[1, 1], [2, 2]] y la matriz ampliada (A|b) es [[1, 1, 3], [2, 2, 6]]. El rango de ambas matrices es 1. Como el rango es igual al número de ecuaciones linealmente independientes (1) y es menor que el número de incógnitas (2), el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones.