¿Qué es subespacios vectoriales?
Un subespacio vectorial es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas para el espacio vectorial original. Para verificar si un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio, se deben cumplir tres condiciones: (1) El vector cero de V debe pertenecer a W. (2) W debe ser cerrado bajo la suma vectorial: si u y v están en W, entonces u + v debe estar en W. (3) W debe ser cerrado bajo la multiplicación escalar: si u está en W y c es un escalar, entonces cu debe estar en W. Si se cumplen estas condiciones, entonces W es un subespacio vectorial de V.
Ejemplo Resuelto
Considera el espacio vectorial R^2 (el plano cartesiano). El conjunto W = {(x, 0) | x ∈ R} (el eje x) es un subespacio vectorial de R^2. El vector cero (0,0) está en W. La suma de dos vectores en W, (x1, 0) + (x2, 0) = (x1+x2, 0), también está en W. La multiplicación escalar de un vector en W por un escalar c, c(x, 0) = (cx, 0), también está en W.