¿Qué es Derivada direccional?
La derivada direccional es una herramienta del cálculo vectorial que nos permite calcular la tasa de cambio de una función multivariable (es decir, una función que depende de varias variables, como f(x, y)) en una dirección específica. Imagina que estás en una montaña y quieres saber qué tan empinada es la pendiente en una dirección particular, no necesariamente hacia el norte o el este, sino en una dirección diagonal. La derivada direccional te da esa información. Formalmente, es la tasa de cambio de la función a lo largo de un vector unitario dado. Este vector unitario define la dirección en la que estamos calculando la tasa de cambio. A diferencia de las derivadas parciales, que miden la tasa de cambio solo en la dirección de los ejes coordenados (x, y, z, etc.), la derivada direccional generaliza este concepto a cualquier dirección en el espacio. En esencia, es la proyección del gradiente de la función sobre un vector unitario.
Fórmula Matemática
Ejemplo Resuelto
Considera la función f(x, y) = x² + y² y el punto (1, 1). Queremos encontrar la derivada direccional en la dirección del vector v = (1, 1). Primero, normalizamos v para obtener el vector unitario u = (1/√2, 1/√2). Luego, calculamos el gradiente de f: ∇f = (2x, 2y). En el punto (1, 1), ∇f(1, 1) = (2, 2). Finalmente, la derivada direccional es el producto punto de ∇f(1, 1) y u: D_u f(1, 1) = (2, 2) · (1/√2, 1/√2) = 2/√2 + 2/√2 = 4/√2 = 2√2.