¿Qué es cerrado bajo la multiplicación por un escalar?
Un conjunto se dice que es "cerrado bajo la multiplicación por un escalar" (o, más simplemente, "cerrado bajo la multiplicación escalar") si, al multiplicar cualquier elemento del conjunto por un escalar (un número, generalmente real o complejo, dependiendo del contexto), el resultado siempre pertenece al mismo conjunto. En otras palabras, la operación de multiplicación por un escalar no "saca" a ningún elemento del conjunto. Esta propiedad es fundamental en álgebra lineal, especialmente al definir espacios vectoriales. Un espacio vectorial debe ser cerrado bajo la multiplicación escalar (así como bajo la suma vectorial). La elección del conjunto de escalares (reales, complejos, etc.) es importante al definir la "cerradura" bajo la multiplicación escalar. Es importante notar que 'cerrado' en este contexto NO significa que el conjunto contenga 'todos los escalares', sino que la multiplicación escalar, realizada con un escalar apropiado, nunca produce un vector 'fuera' del conjunto original.
Fórmula Matemática
Ejemplo Resuelto
Considera el conjunto de todos los vectores en el plano XY de la forma (x, 0), donde x es un número real. Este conjunto es cerrado bajo la multiplicación por un escalar real. Por ejemplo, si multiplicamos el vector (2, 0) por el escalar 3, obtenemos el vector (6, 0), que también está en el conjunto. Sin embargo, el conjunto de todos los vectores de la forma (x, 1) no es cerrado bajo la multiplicación por un escalar. Si multiplicamos (2, 1) por 2, obtenemos (4, 2), que no es de la forma (x, 1).