¿Qué elementos necesitaremos para definir una función lineal, es decir, para comprenderla completamente?

I. Definir una función lineal de forma analítica

Vamos a trabajar con funciones del tipo f(x) = ax (también se pueden expresar así: y = ax), donde a es un valor constante, llamado coeficiente de la función. Por lo tanto, nuestro objetivo consistirá en encontrar un valor para el coeficiente a que nos permita escribir la función según la estructura que acabamos de describir.
Encontrar el valor de a consiste en calcular cuál es el número que aplicado a la x hace que obtengamos un valor concreto para la y.
1. Calcular el coeficiente si nos dan un valor de y distinto de cero
Ejemplo: queremos calcular la función lineal (del tipo f(x) = ax o y = ax) que transforma el valor 12 en 44. En otras palabras, buscamos el valor del coeficiente a que nos permita escribir la forma general de la función que hace que y = 44, cuando x = 12.
Si sustituimos el valor 12 en la variable x, la función toma este aspecto y = a · 12. Como sabemos que cuando x = 12, y = 44, entonces: 44 = a ·12 y despejando: , que simplificando nos queda: .
Por lo tanto, ya tenemos el valor del coeficiente a que nos va a permitir escribir la función que convierte el valor 12 de x en el valor 44 de y.
La función lineal es:
o 
2. Un caso de proporcionalidad
Ejemplo 1: un automóvil viaja a una velocidad constante de 110 km/h. Queremos demostrar que la distancia recorrida (en km) por el coche es una función lineal del tiempo (en horas), y además deseamos escribir dicha función.
Primero comenzaremos recordando la ecuación física que calcula el espacio recorrido por un móvil que se mueve con velocidad constante: d = v · t, donde d es el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo empleado. En este caso, v = 110 km/h, por lo tanto, podemos escribir que d = 110 · t o d = 110t (d en kilómetros y t en horas). Por consiguiente, la función que relaciona el tiempo transcurrido con la distancia recorrida tendría la forma f(t) = 110t.
Es decir, se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 110, la velocidad del automóvil.
Ejemplo 2: un comerciante decide rebajar un 30% todos los artículos que tiene en su tienda. Pero quiere comprobar que el precio rebajado es una función lineal del precio original y además también desea calcular y escribir la forma que tendría esta función.
Llamaremos x al precio original de un artículo. El precio rebajado debería ser: .
Si sacamos factor común a x:

Por consiguiente, la función que transforma el precio original en precio rebajado es: f(x) = 0,7x o y = 0,7x. Se trata de una función lineal y su coeficiente es 0,7.
Ejemplo 3: vertemos agua en el interior de un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 8 cm de diámetro. Queremos comprobar que la función que transforma el nivel del agua en el vaso, h (en cm), en volumen de agua (en cm3) es una función lineal. Así mismo queremos calcular la función.

Comenzaremos recordando que el volumen V de un cilindro de radio r y altura h viene dado por la fórmula:
V =  r2h.
El diámetro del cilindro es de 8 cm, por lo que su radio es de 4 cm.
Así, cuando el nivel del agua ha alcanzado los h cm de altura, el volumen del líquido en el interior del vaso viene dado por V =   × 42 × h = 16 h.
Por consiguiente, la función que transforma la altura del agua en volumen de agua viene dada por la siguiente expresión: f(h) = 16 h o y = 16 h.
Se trata de una función lineal cuyo coeficiente es 16 .

II. Definir una función lineal a partir de una gráfica

Ejemplo: queremos calcular la función lineal representada en la figura mediante la recta D.
Observando e interpretando la gráfica, podemos calcular las coordenadas de un punto M cualquiera —que no sea el origen— perteneciente a la recta D. En este caso, las coordenadas de M son (–5, 3).

Llamemos y = ax a la función lineal que deseamos calcular. El punto M pertenece a la recta que representa dicha función. Es decir, que si sustituimos las coordenadas del punto M en la función, tendríamos que: 3 = a · (-5), “…cuando le damos a x el valor -5, la y adquiere el valor 3”. Si despejamos obtenemos el coeficiente:

Por lo tanto, la función lineal que buscamos es: y = – 0,6x o f(x) = – 0,6x. Aunque también la podemos expresar así:

Ver artículo Representación gráfica de una función lineal.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

Una función lineal es un tipo de función matemática que se caracteriza por tener una relación lineal directa entre la variable independiente (x) y la variable dependiente (y). En otras palabras, la gráfica de una función lineal es una línea recta en el plano cartesiano.

La forma general de una función lineal es:

f(x) = mx + b

Donde "f(x)" representa el valor de la función para un valor dado de "x", "m" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente "m" determina la inclinación de la recta y representa el cambio en el valor de "y" por cada unidad de cambio en "x". Si "m" es positiva, la recta se inclina hacia arriba hacia la derecha; si es negativa, se inclina hacia abajo hacia la derecha; y si es cero, la función se convierte en una función constante.

La ordenada al origen "b" es el valor de "y" cuando "x" es igual a cero, es decir, el punto donde la recta cruza el eje vertical (eje "y"). Esta constante "b" determina la posición vertical de la recta en el plano cartesiano.

La ecuación de una función lineal nos permite calcular el valor de "y" para cualquier valor de "x" y también nos permite trazar la recta en el plano cartesiano.

Ejemplo de función lineal: Supongamos que tenemos la función lineal f(x) = 3x + 2. La pendiente es 3 y la ordenada al origen es 2. Esto significa que la recta tiene una inclinación de 3 unidades hacia arriba por cada unidad de aumento en "x", y cruza el eje vertical en el punto (0, 2).

Las funciones lineales son fundamentales en matemáticas y tienen muchas aplicaciones en diferentes campos, como la física, la economía, la ingeniería y la ciencia en general.