¿Qué elementos vamos a necesitar para hallar una función del tipo y = ax + b y para comprenderla completamente?
1. Calcular una función afín
Las funciones del tipo y = ax + b (se pueden expresar también como f(x) = ax + b) se denominan funciones afines. Son muy parecidas a las funciones lineales del tipo y = ax, solo que han sufrido un desplazamiento respecto al origen, provocado por el término independiente “b”. Por lo tanto, decimos que una función afín es una función del tipo y = ax + b, donde a y b son valores constantes. Vamos a calcular una función afín hallando los valores de a y b.
1. Conocemos los valores de la y de dos números dados
Usemos un ejemplo para demostrarlo. Queremos calcular la función afín que hace que: f(4) = 5 y que f(2) = –1.
Todas las funciones afines se caracterizan por la forma f(x) = ax + b. Calculemos a y b.
Para hacerlo, podemos decir que para x = 4, tenemos que f(4) = a · 4 + b. Por lo tanto, si f(4) = a · 4 + b y f(4) = 5, obtenemos la ecuación 4a + b = 5.
Para x = 2, tenemos que f(2) = a · 2 + b. Por lo tanto, si f(2) = a · 2 + b y f(2) = -1, obtenemos la ecuación 2a + b = –1.
Así que hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las cuales son a y b:
Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:
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Por consiguiente, la función afín que buscamos es f(x) = 3x – 7.
2. Otras situaciones
Ejemplo 1: vertemos agua en una probeta hasta una altura de 11 cm. Notamos que cada día que pasa el nivel del agua desciende 4 mm debido a la evaporación. Queremos demostrar que la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura del agua en la probeta (en cm) es una función afín. Además, queremos calcular esta función.
Después de x días, el nivel del agua ha bajado 4x mm, esto es, 0,4x cm.
Tras x días, la altura del agua en la probeta (en cm) debería ser de 11 – 0,4x, o lo que es lo mismo, –0,4x + 11.
Por consiguiente, la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura (en cm) del agua en la probeta, es la función afín: f(x) = – 0,4x + 11.
Ejemplo 2: un conductor realiza un trayecto desde la ciudad A hacia la ciudad B, situada a 750 km de A. Conduce a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Queremos demostrar que la función que relaciona la duración del viaje (en horas) con la distancia que separa al conductor de la ciudad B, es una función afín. Así mismo, queremos calcularla.
Llamaremos x a la duración del viaje en horas. Tras x horas, el conductor ha recorrido 90x km. Por tanto, la distancia (en km) que separa al conductor de la ciudad B es: 750 – 90x; esto es, –90x + 750.
Es decir, la función que relaciona la distancia que separa al conductor de B (en km), con la duración del viaje (en horas) es la función afín: f(x) = – 90x + 750.
II. Usar la representación gráfica para calcular una función afín
Ejemplo: queremos calcular la función afín representada en la figura por la recta D.
Hagamos que f(x) = ax + b sea la función afín que queremos calcular.
Analizando la gráfica, podemos hallar el valor de f(x) —de la y— de la recta D en el origen, es decir, el valor de b. En este caso b = 3.
De tal manera que la función afín que estamos buscando es del tipo f(x) = ax + 3. Ahora solamente nos queda hallar el valor de a.
Para obtenerlo, buscamos en la recta las coordenadas de un punto M cualquiera. Leyendo la gráfica, podemos decir que M es un punto de coordenadas (2, 7).
Este punto está en la recta y representa a la función afín, en otras palabras: f(2) = 7.
Además, si calculamos el valor de la función para x = 2, obtenemos que f(2) = a · 2 + 3.
Igualando estas dos expresiones obtenemos que: 2a + 3 = 7.
Simplificando la ecuación:
2a = 7 – 3; 2a = 4 y a = 2.
Así, la función afín que estamos buscando es f(x) = 2x + 3.
Nota: otro método consiste en usar la gráfica para hallar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, podemos tomar los puntos M(2, 7) y N(0, 3). A partir de ellos construimos las siguientes ecuaciones:
que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolvemos como hemos visto anteriormente.
Funciones
Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal
Para calcular una función afín, necesitamos dos datos esenciales: el valor de la pendiente (m) y el valor de la ordenada al origen (b). La función afín se representa generalmente en la forma f(x) = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es la ordenada al origen.
Paso 1: Obtener los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b).
Paso 2: Sustituir estos valores en la ecuación f(x) = mx + b.
Paso 3: ¡Calcular la función afín!
A continuación, te presento un ejemplo concreto para calcular una función afín:
Supongamos que queremos encontrar la función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9).
Paso 1: Primero, calculamos la pendiente (m) utilizando la fórmula:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos dados.
m = (9 - 5) / (4 - 2) = 4 / 2 = 2
Paso 2: Ahora, tenemos el valor de la pendiente (m = 2). A continuación, necesitamos encontrar la ordenada al origen (b). Para ello, podemos utilizar cualquiera de los dos puntos dados. Tomaremos el punto (2, 5):
f(x) = mx + b
5 = 2(2) + b
Paso 3: Despejamos el valor de "b":
b = 5 - 4
b = 1
Resultado: Hemos encontrado que la ordenada al origen (b) es 1.
Función Afín Final: La función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9) es:
f(x) = 2x + 1
Ahora tenemos una función lineal (afín) que representa la relación entre "x" e "y" para los puntos dados.