Valor medio de una función

El promedio de una función continua

El valor medio (o valor promedio) de una función en un intervalo generaliza la idea de promedio de una lista de números. En lugar de sumar finitos valores y dividir entre su cantidad, integramos la función y dividimos por la longitud del intervalo.

Fórmula del valor medio

Si f es continua en [a, b], su valor medio en ese intervalo es:

f̄ = (1/(b−a)) · ∫[a]^[b] f(x) dx

Interpretación geométrica: f̄ es la altura del rectángulo de base [a, b] que tiene exactamente el mismo área que la región bajo la curva y = f(x).

Teorema del Valor Medio para integrales

Si f es continua en [a, b], existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que:

f(c) = (1/(b−a)) · ∫[a]^[b] f(x) dx = f̄

En palabras: una función continua alcanza su valor promedio en al menos un punto del intervalo. Esto es consecuencia del Teorema del Valor Intermedio aplicado a la función de área acumulada.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 — Polinomio

Valor medio de f(x) = x² en [0, 3]:

f̄ = (1/3)·∫[0]^[3] x² dx = (1/3)·[x³/3]₀³ = (1/3)·9 = 3

El punto c donde f(c) = 3: c² = 3 → c = √3 ≈ 1.73.

Ejemplo 2 — Trigonométrica

Valor medio de f(x) = sen(x) en [0, π]:

f̄ = (1/π)·∫[0]^[π] sen(x) dx = (1/π)·[−cos(x)]₀^π
= (1/π)·(1 + 1) = 2/π ≈ 0.637

El seno tiene valor promedio 2/π ≈ 0.637 en el primer arco, no 1 (que es el máximo).

Ejemplo 3 — Velocidad media

Si la velocidad de un objeto es v(t) = 3t² − 2t en [1, 4]:

v̄ = (1/3)·∫[1]^[4] (3t²−2t) dt = (1/3)·[t³ − t²]₁⁴
= (1/3)·[(64−16)−(1−1)] = (1/3)·48 = 16 m/s

Aplicaciones del valor medio

Ingeniería eléctrica

La potencia promedio de una señal eléctrica i(t) en un circuito durante un período T es:

P̄ = (1/T)·∫[0]^[T] [i(t)]²·R dt

Temperatura media

La temperatura media de una ciudad durante un mes de 30 días con temperatura T(t):

T̄ = (1/30)·∫[0]^[30] T(t) dt

Economía

Si el precio de un bien varía como p(t) a lo largo del año, el precio medio anual es:

p̄ = (1/12)·∫[0]^[12] p(t) dt

Resumen

Valor medio de f en [a,b]:
f̄ = [1/(b−a)] · ∫[a]^[b] f(x) dx

Garantía: existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = f̄