Usar las propiedades de un paralelogramo

Para comprobar que un cuadrilátero es un paralelogramo, simplemente tenemos que demostrar que cumple alguna de las propiedades de los paralelogramos. En cambio, si partimos del hecho de que un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces podemos usar sus propiedades para deducir otros resultados que nos interesen.

I. Propiedades de un paralelogramo

Si un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces:
—sus lados opuestos son paralelos: AB || DC y AD || BC;
—sus lados opuestos son de la misma longitud: AB = DC y AD = BC;

—el punto medio de cada una de sus diagonales coincide con el punto donde se cruzan (el centro de simetría del paralelogramo);

—sus ángulos opuestos son iguales: y ;

—dos ángulos consecutivos son suplementarios: por ejemplo, .

II. Usar las propiedades de un paralelogramo

1. El centro de simetría
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo . Queremos construir la circunferencia circunscrita al triángulo .
Solución: podríamos, por supuesto, dibujar las mediatrices del triángulo , pero hay un método más sencillo.
—ABCD es un paralelogramo, por tanto I, el punto donde se cruzan sus diagonales, es el centro de simetría.
—Usando I como centro de simetría, podemos comprobar que A es el reflejo de C, B el reflejo de D, y D el reflejo de B. La circunferencia circunscrita a es el reflejo de la circunscrita a .
—Podemos construir el punto O' de forma sencilla, ya que es el reflejo de O respecto del centro de simetría I, y entonces ya podemos dibujar la circunferencia usando O' como centro, la cual deberá pasar por el vértice C.

2. La longitud de los lados opuestos
Enunciado: ABCD y ABEC son paralelogramos. Queremos comprobar que C es el centro de DE.

Solución:
—Los puntos ABCD forman un paralelogramo, por lo tanto, las rectas AB y CD son paralelas y de la misma longitud.
—Asimismo, los puntos ABEC forman un paralelogramo, por tanto, las rectas AB y EC son paralelas y de igual longitud.
—Las dos rectas CD y EC son paralelas a la recta AB; por eso son paralelas entre ellas. Además, tienen un punto en común, C; por tanto son continuación una de la otra. Todo esto nos viene a decir que los puntos D, C y E forman parte de la misma recta (1).
—También AB = DC = CE (2).
—Puesto que los puntos D y E no son los mismos, (1) y (2) podemos afirmar que C es el centro de DE.
3. Ángulos
Enunciado: ABCD es un paralelogramo. La amplitud del ángulo es el triple que la de .
Queremos encontrar la amplitud de los ángulos de ABCD.
Solución:
—El enunciado del problema afirma que (1).
—Además, ABCD es un paralelogramo, por lo tanto los ángulos y son suplementarios.
—De tal manera que (2).
—Teniendo (1) y (2): ; esto es . Así que .
—Esto significa que y .
—Y como los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, tenemos que: y .