El área de un cuadrado cuyo lado tenga una longitud a, es a² (se lee “a elevado al cuadrado”, o “a elevado a la segunda potencia”, o “a al cuadrado”).
De la misma manera, el volumen de un cubo cuya arista mide a, es a3 (se lee “a elevado al cubo” o “a elevado a la tercera potencia” o “a al cubo”).
Pero, ¿cuál es el significado de otras expresiones similares, tales como 75, (–2)7 o 5–3?
I. Definición
Tomemos a como un número entero distinto de cero y n como otro número entero distinto de cero.
Si n
2, entonces an es el producto de n factores todos iguales a a:
.
Llamaremos base al número a que se repite multiplicándose consigo mismo. Llamaremos exponente al número n que se escribe como superíndice y que expresa cuántas veces se repite a en la multiplicación.
Si n = 1, entonces a1 = a. Por ejemplo: 51 = 5.
Si n = 0, entonces a0 = 1. Por ejemplo: 70 = 1. Pero esto lo explicaremos más abajo.
Si a = 1, entonces 1n = 1. Por ejemplo: 14 = 1 · 1 · 1 · 1 = 1.
Si a = 0, entonces 0n = 0. Por ejemplo: 03 = 0 · 0 · 0 = 0.
También,
, como veremos más adelante.
107 se lee como “10 elevado a la séptima potencia” o “ 10 elevado a la séptima”, pero
se lee “tres séptimos elevado a la quinta potencia” o “tres séptimos elevado a la quinta”.
Ejemplos:
Notas:
—Es muy importante saber que
. Vamos a verlo con un ejemplo:
porque:
Y
.
—Si la base de una potencia es un número entero negativo, el signo del resultado dependerá del exponente: si el exponente es un número par, el resultado será positivo. En cambio, si el exponente es una cantidad impar, el resultado de la potencia será de signo negativo. Veamos esto con un par de ejemplos.
Ejemplo 1: queremos calcular el valor de
.
Sabemos que:
. El número 4 es par, el resultado es positivo porque la base
se multiplica consigo misma un número par de veces. Por lo tanto, si una potencia de base negativa tiene exponente par, podemos cambiar a voluntad el signo de la base, ya que sabemos de antemano que el resultado es positivo. En el ejemplo anterior podemos decir indistintamente que:
ya que el exponente es un número par.
Ejemplo 2: queremos calcular el valor de
.
Sabemos que:
. El número 5 es impar, el resultado es negativo porque la base
se multiplica consigo misma una cantidad impar de veces.
—El número 210 (el cual es igual a 1.024) es muy utilizado en procesos de datos informáticos. Pero nosotros usamos a menudo la cantidad 1.000 como una aproximación al valor real del número; por ejemplo cuando hablamos de kilobytes, utilizamos la k como prefijo para indicar una multiplicación por 1.000;
—Para calcular la potencia de un número usando calculadora, podemos usar estas teclas:
o
o
o
, dependiendo del modelo de calculadora. Así, para calcular 2,34 introducimos la secuencia: 2,3
4
, lo cual nos da: 27,9841.
II. Propiedades
Supongamos que a y b son dos números enteros distintos de cero, y n y p son también dos números enteros.
1) an ×a p = an + p . Un producto de potencias de la misma base es una nueva potencia, que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias que se están multiplicando. Vamos a entender esto con un ejemplo: 54 · 53 = (5 · 5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 57. Por lo tanto, podemos decir que: 54 · 53 = 5 4+3 = 57.
2)
. Un cociente de potencias de la mismabase es una nueva potencia, con la misma base y cuyo exponente es la resta de los exponentes de las potencias que se están dividiendo. Veamos un ejemplo:
. Por lo tanto, podemos decir que
.
3) Al principio del artículo vimos que
. Vamos a demostrarlo.
En una división de potencias de la misma base, puede ocurrir que el exponente del numerador sea menor que el exponente del denominador. En este caso la potencia resultante tendría un exponente de valor negativo. Vamos a verlo mediante un ejemplo.
Queremos calcular este cociente de potencias de la misma base:
Pero también podemos resolverla restando exponentes:
.
Por lo tanto, si tenemos estas dos igualdades:
podemos decir que
. Y si expresamos esto de forma más general tenemos que:
. Es decir, un número elevado a exponente negativo es igual al inverso de su potencia positiva.
4) a0 = 1. También puede ocurrir que en la división de dos potencias de la misma base, ambos términos de la fracción tengan el mismo exponente. En este caso, la potencia resultante tendría un exponente de valor cero. Veamos qué es lo que ocurre mediante un ejemplo.
Queremos calcular este cociente de potencias de la misma base:
Pero también podemos resolver este cociente mediante la resta de sus exponentes:
. Por lo tanto, tenemos que:
Entonces, podemos afirmar que 60 = 1. Si expresamos esta igualdad de forma general tenemos que: a0 = 1. Es decir, todo número elevado a exponente cero, vale 1.
Nota: con todo lo visto hasta ahora, podemos afirmar que 40 = 1 y que 04 = 0. Pero, ¿qué podemos decir acerca de 00? Sabemos que 00 se puede obtener de aquí:
, pero no podemos afirmar que
porque
y cero entre cero tiene un valor indeterminado. Es decir, hay infinitos números que multiplicados por el denominador 0 nos da como resultado el numerador 0. Por lo tanto, si
no tiene un valor determinado, 00 tampoco lo puede tener.
5) (a · b)n = an · bn. La potencia de un producto de dos o más números es igual al producto de cada una de las potencias. Vamos a comprenderlo con un ejemplo: (4 · 5)3 = (4 · 5) · (4 · 5) · (4 · 5) = 4 · 5 · 4 · 5 · 4 · 5 = 4 · 4 · 4 · 5 · 5 · 5 = 43 · 53. Por lo tanto, podemos decir que (4 · 5)3 = 43 · 53.
6)
. La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. Por ejemplo:
Por lo tanto,
.
7) (a n) p = an × p. La potencia de una potencia es una nueva potencia, cuya base es la misma y cuyo exponente es el productode losexponentes. Observa este ejemplo para comprender lo que acabamos de decir: (83)5 = 83 · 83 · 83 · 83 · 83 = 83+3+3+3+3 = 815. Por lo tanto, podemos afirmar que (83)5 = 83·5 = 815.
Ejemplos:
34 × 37 = 34 + 7 = 311 = 177.147
26 × 56 = (2 × 5) 6 = 106 = 1.000.000
III. Aplicaciones
1. Expresar una operación en forma de potencia
Consideremos un número A igual a esta operación: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3.
Tiene 6 factores, todos iguales a 3, por lo tanto A = 36.
De la misma forma, si
, entonces
.
Finalmente, si C = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) × 0,7 × 0,7 × 0,7 × 0,7, entonces:
C = (–3)4 × 0,74
C = ((–3) × 0,7)4
C = (–2,1)4
Nota: en la notación que hemos hecho del número C, hay cuatro factores de signo negativo, es decir, un número par de factores, por eso el resultado es una cantidad positiva. Por consiguiente también podemos decir que: C = 2,14.
2. Usar potencias de base 10
Esto es una consecuencia de la definición de potencia de un número distinto de cero.
Dado n como un número natural (entero positivo), veamos las siguientes potencias de base 10:
10n se escribe como: 1 seguido de n ceros. Observa:
10–n se escribe como: 0,…..1 con n-1 ceros entre la coma decimal y el 1. Veamos por qué con un ejemplo.
Queremos expresar de otra forma el valor de la potencia 10-5. Sabemos que
y que
Por lo tanto, 10-5 = 0,00001.
Ejemplos:
104 = 10.000 (cuatro ceros); 106 = 1.000.000 (seis ceros).
10–2 = 0,01 (dos ceros); 10–6 = 0,000001 (seis ceros).
Por supuesto, 100 = 1.
Esto nos permite escribir cifras decimales en notación científica.
Ejemplos :
1.500.000 = 1,5 × 1.000.000 = 1,5 × 106
0,0000000547 = 5,47 × 0,00000001 = 5,47 × 10–8
Ver también el artículo Efectuar operaciones con potencias.
Potencias
Usar las potencias
Efectuar operaciones con potencias
Usar la notación científica
Las potencias son una operación matemática que nos permite representar la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. También se conocen como exponentes. A continuación, te mostraré cómo usar las potencias:
Uso de las potencias:
Para usar las potencias, sigue estos pasos:
- Escribe la base: La base es el número que se va a multiplicar por sí mismo.
- Escribe el exponente: El exponente indica cuántas veces se debe multiplicar la base por sí misma.
- Realiza la operación: Multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.
Ejemplo de uso de las potencias:
Calculemos algunas potencias para entender cómo funcionan:
- 2^3 (2 elevado a la 3):
Paso 1: La base es 2.
Paso 2: El exponente es 3.
Paso 3: Realizamos la operación: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8
Resultado: 2^3 es igual a 8.
- 5^2 (5 elevado a la 2):
Paso 1: La base es 5.
Paso 2: El exponente es 2.
Paso 3: Realizamos la operación: 5^2 = 5 * 5 = 25
Resultado: 5^2 es igual a 25.
- (-3)^4 (menos 3 elevado a la 4):
Paso 1: La base es -3.
Paso 2: El exponente es 4.
Paso 3: Realizamos la operación: (-3)^4 = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = 81
Resultado: (-3)^4 es igual a 81.
Las potencias son muy útiles para simplificar operaciones matemáticas, representar números grandes o pequeños de manera compacta y resolver problemas en diversas áreas de las matemáticas y otras ciencias.