Sabemos que los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo cumplen ciertas relaciones, así como que podemos dibujar una circunferencia tal que el triángulo quede inscrito en ella.
¿Cómo usar estas propiedades para comprobar si un triángulo es o no rectángulo?

I. El triángulo tiene dos ángulos complementarios

1. Propiedad
Si un triángulo tiene dos ángulos complementarios (es decir, si la suma de sus amplitudes es igual a 90°), entonces tiene un ángulo recto.
2. Ejemplo
Enunciado: Sea el paralelogramo ABCD. La bisectriz del ángulo corta a la bisectriz del ángulo en I.
Queremos demostrar que el triángulo es rectángulo.

Solución: sabemos que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son ángulos suplementarios.
Así pues, .
Por las bisectrices que hemos trazado: y .
Sustituyendo en la primera ecuación resulta: , que simplificada queda .
Por tanto, los ángulos e son complementarios.
El triángulo tiene dos ángulos complementarios ( e ), y un ángulo recto en I.
Nota: si trazamos las cuatro bisectrices del paralelogramo ABCD, el cuadrilátero creado por los cuatro puntos de intersección de estas líneas es un rectángulo.

II. El triángulo queda inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es uno de los lados del triángulo

1. Propiedad
Si el triángulo está inscrito en la circunferencia de diámetro BC, entonces tiene un ángulo recto en A.
2. Ejemplo
Problema: la circunferencia C tiene su centro en O. Sea A un punto exterior al círculo cuya circunferencia es C. Unimos O con A y dibujamos otra circunferencia con centro en el punto medio de OA y diámetro OA; esta nueva circunferencia cortará a C en dos puntos: E y D. Queremos comprobar que el triángulo es un triángulo rectángulo.

Solución: el triángulo está inscrito en la circunferencia de diámetro AO, que es uno de sus lados. Tiene, por tanto, un ángulo recto en D.
Nota: la recta AD es perpendicular al radio OD en D. La recta AD es pues tangente a la circunferencia C en el punto D.
También podemos probar que el triángulo tiene un ángulo recto en E, ya que la recta AE es tangente a la circunferencia C en el punto E.

III. El triángulo cumple el teorema de Pitágoras

1. Propiedad
Sea un triángulo. Si las longitudes de sus lados verifican la relación: BC² = AB² + AC², el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice A.
2. Ejemplo
Problema: sea un triángulo . Las longitudes de sus lados vienen expresadas en centímetros: DE = 5, EF = 13 y DF = 12. ¿Es rectángulo este triángulo?

Solución: EF es el lado mayor. Comparemos los valores EF² y DE² + DF².
EF² = 13² = 169 y DE² + DF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Por tanto, se tiene que: EF² = DE² + DF².

Según el teorema de Pitágoras, el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice D.

Poligonos

Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana