¿Cuáles son las propiedades de la tangente a una circunferencia y cómo podemos trazar esta tangente usando una regla y un compás?
I. Definición de la tangente a una circunferencia
1. Posiciones de una recta y una circunferencia
Tomemos una circunferencia con centro en O y radio r. Llamaremos d a la recta y H al punto de corte de la perpendicular a d que pasa por O, con d.
La longitud OH es la distancia de O a la recta d.
Caso 1: OH < r, entonces la recta d será secante a la circunferencia.
Caso 2: OH = r, entonces la recta d será tangente a la circunferencia.
Caso 3: OH > r, entonces la recta d será exterior a la circunferencia.
2. Definición
Tomemos una circunferencia con centro en O y radio r. Llamemos A a un punto de la circunferencia. La recta que pasa por A y es perpendicular al diámetro OA se denomina tangente a la circunferencia en A.
El punto A recibe el nombre de punto de contacto entre la tangente d y la circunferencia.
3. Propiedades
—El punto A es el único punto común entre la tangente y la circunferencia.
—Si M es un punto de la recta d distinto de A, entonces OM > r.
—El diámetro OA es el eje de simetría de la figura formada por la circunferencia y su tangente en A.
II. Trazar la tangente a una circunferencia
Tomemos una circunferencia con centro en O, donde A es un punto cualquiera de la circunferencia. Queremos trazar la tangente a la circunferencia en el punto A. Resolveremos el problema construyendo la recta perpendicular a una recta dada (en este caso OA) que pase por un punto de la misma (en este caso A).
Simplemente tenemos que dibujar el punto O', que se obtiene mediante un giro de 180º del punto O en torno al punto A. A continuación, trazamos la mediatriz del segmento OO' y ya tenemos dibujada la tangente.
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