Tipos de discontinuidad
Clasificar las discontinuidades para entender mejor las funciones
Una discontinuidad no es simplemente "un problema": es una característica de la función que tiene interpretación matemática y física. Clasificar el tipo de discontinuidad revela qué ocurre exactamente en ese punto y qué soluciones son posibles.
Tipo 1 — Discontinuidad evitable (o removible)
Se produce cuando el límite en x = a existe, pero o bien f(a) no está definida, o bien f(a) ≠ lim f(x).
f(x) = sen(x)/x en x = 0
f(0) no está definida, pero lim[x→0] sen(x)/x = 1. Si redefinimos f(0) = 1, la discontinuidad desaparece.
Gráficamente: un punto vacío (○) en la curva. La curva llega al punto pero la función "tiene un agujero".
Se puede eliminar redefiniendo el valor de f en el punto conflictivo.
Tipo 2 — Discontinuidad de salto (o de primera especie)
Los dos límites laterales existen y son finitos pero distintos:
lim[x→a⁺] f(x) ≠ lim[x→a⁻] f(x)
El salto en la discontinuidad es el valor |L⁺ − L⁻|.
Ejemplo: la función signo sgn(x) = x/|x| tiene un salto de 2 unidades en x = 0 (de −1 a +1).
Gráficamente: dos ramas que terminan a distinta altura en x = a. La gráfica literalmente "salta".
No se puede eliminar redefiniendo un único punto.
Tipo 3 — Discontinuidad esencial (de segunda especie)
Al menos uno de los límites laterales es infinito o no existe.
Subtipo A — Discontinuidad infinita (asíntota vertical)
f(x) = 1/(x − 2) en x = 2
lim[x→2⁺] = +∞, lim[x→2⁻] = −∞
La función "explota" cerca del punto. La recta x = 2 es asíntota vertical.
Subtipo B — Discontinuidad oscilante
f(x) = sen(1/x) en x = 0
Cuando x → 0, el argumento 1/x → ∞ y el seno oscila infinitamente rápido entre −1 y 1. Ningún límite lateral existe. La función no tiene un valor límite en x = 0.
Tabla comparativa
| Tipo | Límites laterales | ¿Límite bilateral? | ¿Removible? |
|---|---|---|---|
| Evitable | Iguales y finitos | Sí | Sí |
| De salto | Finitos pero distintos | No | No |
| Esencial infinita | Al menos uno es ±∞ | No | No |
| Esencial oscilante | Al menos uno no existe | No | No |
Ejemplos adicionales
Función floor (parte entera)
f(x) = ⌊x⌋ tiene discontinuidades de salto en todos los enteros. En cada entero n:
lim[x→n⁻] ⌊x⌋ = n−1, lim[x→n⁺] ⌊x⌋ = n
Función de Dirichlet
D(x) = 1 si x es racional, 0 si x es irracional. Es discontinua en todos los puntos reales (discontinuidades esenciales oscilantes en todas partes).
Importancia en ingeniería y física
Las discontinuidades de salto modelan fenómenos reales: encendido de un interruptor eléctrico (función de Heaviside), colisiones inelásticas (velocidad cambia instantáneamente), cambios de fase en termodinámica.
Las asíntotas verticales (discontinuidades infinitas) aparecen en la ley de la gravedad, potenciales eléctricos y fluidos viscosos cerca de superficies.