Teoremas de triángulos

Cuando estudiamos los dos teoremas relativos a los puntos medios de los lados de un triángulo, estamos considerando no solo los puntos medios de dos lados del triángulo, sino también la recta que los une.
Estos teoremas nos permitirán demostrar que un punto cualquiera es o no el punto medio de un segmento, o si dos rectas son paralelas o no.

I. La recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo

1. Teorema 1

En un triángulo , la recta que pasa a través de los puntos medios B' en AC y C' en AB es paralela al tercer lado del triángulo (BC). Además, la longitud de B'C' es exactamente la mitad de la longitud de BC.
Nota: la recta B'C' se denomina recta de los puntos medios del triángulo .
2. Ejemplo

Enunciado: es un triángulo. A' es el punto medio del lado BC, B' el punto medio de AC y C' el punto medio de AB. Queremos demostrar que el cuadrilátero AB'A'C' es un paralelogramo.
Demostración: el segmento A'B' pasa a través de los puntos medios de BC y AC. Por lo tanto, es paralelo al lado AB. Por la misma razón, A'C' es paralelo al lado AC. Dado que el cuadrilátero AB'A'C' tiene dos pares de lados paralelos, es un paralelogramo.

3. Una aplicación del teorema 1: un problema de alineamiento

Enunciado: ABCD es un trapecio con bases AB y CD. Por otra parte, I, J, K y L son los puntos medios de los segmentos AD, BC, AC y BD respectivamente. Queremos demostrar que los cuatro puntos I, J, K y L están alineados.
Demostración: en el triángulo , el segmento IL une los puntos medios de los lados AD y BD, por lo tanto, el segmento IL es paralelo a AB. Por el mismo motivo, en el triángulo , el segmento JL es paralelo a DC y por consiguiente también a AB. Ambos segmentos IL y JL son paralelos a AB; y tienen un punto en común: L. A partir de aquí podemos deducir que forman una línea continua. Esto demuestra que I, L y J están alineados.
Analizando los triángulos y con el mismo criterio, podemos también demostrar que los puntos K, I y J están alineados. En conclusión, los puntos I, J, K y L están en la misma recta, IJ; por lo tanto, están alineados.

II. La recta que pasa a través del punto medio de un lado y es paralela a uno de los lados del triángulo

1. Teorema 2

En un triángulo , la recta que pasa a través del punto medio B' del lado AC y es paralela al lado AB, pasa a través del punto medio C' del tercer lado, BC. Por supuesto, podemos observar otra vez que:
B'C' = y AB.
2. Ejemplo
Enunciado: en la figura 5, tenemos que AI =   AB y D es un punto simétrico a B, respecto de C. Trazamos una recta paralela a DI que pase por C, y que cortará a AB en J. Queremos demostrar que J es el punto medio del segmento IB y que AI = IJ = JB.

Demostración: primero, observamos que IB = AB. Como sabemos que AI =   AB, despejando, AB = 3AI. Sustituyendo:
IB = · 3 · AI.
Por lo tanto, IB = 2AI y C es el punto medio de BD. Imaginemos ahora el triángulo . La línea CJ pasa por el punto medio del lado BD y es paralela al lado DI. El teorema 2 nos permite confirmar que esta línea corta al tercer lado en su punto medio. Por consiguiente, J es el punto medio del segmento IB y podemos deducir que IJ = JB = y  IB. Puesto que IB = 2AI, sabemos que: AI = y  IB = IJ = JB.