Teorema fundamental del cálculo

El teorema que une derivación e integración

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es, sin exageración, el resultado matemático más importante del cálculo. Establece que la derivación y la integración son operaciones inversas, conectando dos conceptos que superficialmente parecen no tener relación: el área bajo una curva y la pendiente de una tangente.

Primera parte del TFC

Sea f continua en [a, b]. Define la función:

G(x) = ∫[a]^[x] f(t) dt

Entonces G es derivable en (a, b) y:

G'(x) = f(x)

G(x) es la función que acumula el área bajo f desde a hasta x. Y su derivada es la función original f(x). Dicho de otra manera: la derivada del área acumulada es la función que define esa área.

Consecuencia inmediata

Toda función continua f tiene antiderivada, y esa antiderivada es precisamente G(x) = ∫[a]^x f(t) dt.

Ejemplo

G(x) = ∫[0]^[x] t² dt
G'(x) = x²    ✓

No necesitas calcular la integral explícitamente para saber que G'(x) = x².

Con regla de la cadena

G(x) = ∫[0]^[x²] sen(t) dt
G'(x) = sen(x²)·2x    (cadena con el límite x²)

Segunda parte del TFC (Regla de Barrow)

Sea F una antiderivada de f (es decir, F'(x) = f(x)). Entonces:

∫[a]^[b] f(x) dx = F(b) − F(a)

Se escribe habitualmente como:

∫[a]^[b] f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)

Esta parte convierte el cálculo de integrales definidas (que requeriría límites de sumas) en una simple evaluación de la antiderivada en los extremos.

Ejemplos de la Regla de Barrow

Ejemplo 1

∫[1]^[4] √x dx = ∫[1]^[4] x^(1/2) dx = [(2/3)x^(3/2)]₁⁴
= (2/3)·8 − (2/3)·1 = 16/3 − 2/3 = 14/3

Ejemplo 2

∫[0]^[π] sen(x) dx = [−cos(x)]₀^π
= −cos(π) + cos(0)
= −(−1) + 1 = 2

El área del primer arco del seno es exactamente 2.

Ejemplo 3

∫[1]^[e] (1/x) dx = [ln|x|]₁^e
= ln(e) − ln(1)
= 1 − 0 = 1

Por qué el TFC es revolucionario

Antes del TFC (Newton, Leibniz, siglo XVII), calcular áreas requería paciencia extrema: construir sumas de Riemann y tomar límites caso por caso. El TFC automatizó ese proceso: para calcular ∫[a]^[b] f(x) dx, solo necesitas encontrar una antiderivada F de f y evaluar F(b) − F(a).

Esto transformó el cálculo de un arte laborioso en un procedimiento sistemático, abriendo la puerta al análisis matemático moderno.

Resumen

PARTE 1: d/dx[∫[a]^x f(t)dt] = f(x)
PARTE 2: ∫[a]^[b] f(x)dx = F(b) − F(a)  donde F' = f

Las dos partes juntas dicen: integrar y derivar son operaciones inversas.