Teorema del Resto y del Factor

Introducción

Estos dos teoremas te permiten encontrar residuos y factores sin hacer la división completa. Son herramientas poderosas para analizar polinomios.

Teorema del Resto

Enunciado: El residuo de dividir P(x) entre (x - a) es igual a P(a).

Fórmula: R = P(a)

¿Por qué funciona?

Al dividir P(x) entre (x - a): ``` P(x) = (x - a)·C(x) + R

Si evaluamos en x = a: P(a) = (a - a)·C(a) + R P(a) = 0·C(a) + R P(a) = R ```

Ejemplo #1

Hallar el residuo de (x³ - 2x + 5) ÷ (x - 1)

``` Sin dividir, solo evaluamos: P(x) = x³ - 2x + 5 P(1) = (1)³ - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4

Residuo = 4 ```

Ejemplo #2

Residuo de (2x² + 3x - 1) ÷ (x + 2)

``` Divisor: x + 2 → a = -2

P(-2) = 2(-2)² + 3(-2) - 1 = 2(4) - 6 - 1 = 8 - 6 - 1 = 1

Residuo = 1 ```

Teorema del Factor

Enunciado: (x - a) es un factor de P(x) si y solo si P(a) = 0.

Equivalencias:

• P(a) = 0 ↔ (x - a) es factor
• P(a) = 0 ↔ División exacta
• P(a) = 0 ↔ a es raíz

Ejemplo #3

¿Es (x - 2) un factor de x³ - 6x + 4?

``` P(x) = x³ - 6x + 4 P(2) = (2)³ - 6(2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Como P(2) = 0, SÍ es factor ```

Ejemplo #4

¿Es (x + 1) un factor de x² + 3x + 1?

``` P(x) = x² + 3x + 1 P(-1) = (-1)² + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 ≠ 0

Como P(-1) ≠ 0, NO es factor ```

Aplicaciones Prácticas

1. Verificar Factorización

Ejemplo: ¿Es x³ - 27 = (x - 3)(x² + 3x + 9)?

``` Verificamos: P(3) = 3³ - 27 = 27 - 27 = 0 ✓ ```

2. Encontrar Raíces

Ejemplo: Buscar raíces de x² - 5x + 6

``` Probamos x = 2: P(2) = 4 - 10 + 6 = 0 ✓ (2 es raíz)

Probamos x = 3: P(3) = 9 - 15 + 6 = 0 ✓ (3 es raíz) ```

3. Factorización Rápida

Si sabemos que a es raíz, podemos factorizar:

Ejemplo: Factorizar x³ - 7x + 6

``` Probamos x = 1: P(1) = 1 - 7 + 6 = 0 ✓

Entonces (x - 1) es factor. Dividimos por Ruffini:

1 │ 1 0 -7 6 │ 1 1 -6 ───────────────────── 1 1 -6 0

x³ - 7x + 6 = (x - 1)(x² + x - 6) = (x - 1)(x + 3)(x - 2) ```

Problemas Resueltos

Problema #1: Hallar el residuo de (x⁴ - 3x² + 1) ÷ (x - 2)

``` R = P(2) = 16 - 12 + 1 = 5 ```

Problema #2: Determinar si (x + 3) es factor de x³ + 2x² - 5x + 3

``` P(-3) = -27 + 18 + 15 + 3 = 9 ≠ 0 NO es factor ```

Problema #3: Hallar k si (x - 1) es factor de x³ + kx² - 2x + 1

``` P(1) = 0 (condición para ser factor) 1 + k - 2 + 1 = 0 k = 0 ```

Ejercicios

Nivel Básico: 1. Residuo de (x² + 3x - 1) ÷ (x - 2) 2. ¿Es (x - 1) factor de x² - 4x + 3?

Nivel Intermedio: 3. Residuo de (x³ - x + 5) ÷ (x + 1) 4. ¿Es (x + 2) factor de x³ + 8?

Nivel Avanzado: 5. Hallar a si (x - 2) es factor de x³ - ax + 4

Soluciones

Conclusión

Estos teoremas simplifican enormemente el trabajo con polinomios. Sin hacer divisiones completas, puedes encontrar residuos y factores.

---

Palabras clave: teorema del resto, teorema del factor, raíces de polinomios, factorización