Teorema de Thales de mileto (2)

El matemático griego Tales de Mileto (siglo VI a.C.), llamado así porque era procedente de la ciudad de Mileto, en Asia Menor, no fue el creador del teorema que lleva su nombre, el cual ya había sido utilizado mucho antes. En el siglo III a.C. Euclides aportó pruebas de este teorema en su obra Elementos.

I. Definición del teorema

Cuando dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de las secantes son proporcionales a los que se forman en la otra.

Para entender mejor la definición del teorema, imaginemos un triángulo como el de la figura 1. Si señalamos un punto M sobre el lado AB y por él trazamos una paralela al lado BC, entonces, el lado AC del triángulo quedará cortado por la paralela en un punto que llamaremos N. Si volvemos a trazar otra paralela por un punto Q, que corte al lado AC por P, ya tendremos elementos suficientes para entender el teorema de Tales.
Pues bien, el teorema de Tales afirma que la razón de dos segmentos cualesquiera de los que se han formado en AB es igual a la razón de otros dos cualesquiera que estén en AC. Es decir, que si medimos y hallamos la razón , el resultado que obtenemos es el mismo que si calculamos esta otra: , o también que .
Y dice algo más: que todas las razones anteriores también son iguales a estas otras: , y ; y a estas: , y . Resumiendo, podemos afirmar que:

Nota: en el esquema de abajo tenemos una forma práctica de recordar este teorema:

II. Aplicar el teorema
1. Calcular longitudes
Problema:observa la figura 2. es un triángulo. RS = 5 cm, RT = 6 cm y ST = 7 cm. El punto M está en el lado RS y RM = 3 cm. La recta paralela a ST, que pasa por M, corta al lado RT en el punto N. Queremos calcular la longitud de RN y MN.

Solución: el punto M se encuentra sobre el lado RS, N está en el lado RT y el lado ST y la recta MN son paralelos. Por lo tanto, estamos ante una situación de rectas secantes cortadas por paralelas, es decir, el teorema de Tales.
1) Para calcular RN. Entre todas las posibilidades de igualdad de razones que nos ofrece el teorema de Tales, vamos a escoger aquella que se adapte mejor a los datos que nos ofrece el problema (3, 5, 6 y 7).
Así, no será muy difícil llegar a la conclusión de que: . Y sustituyendo los datos: . Si escribimos el inverso en ambos términos de la ecuación, , y despejamos, tenemos que: . Por lo tanto, RN = 3,6 cm.
2) Para calcular MN. Tenemos varias opciones. Una de ellas podría ser: . Si sustituimos los datos, tenemos que: . Dando la vuelta a la ecuación: , y despejando, . Por lo tanto, MN = 4,2 cm.
En conclusión: RN mide 3,6 cm y MN mide 4,2 cm.
2. Comprobar si dos rectas son paralelas
En la figura de abajo, AB = 7 cm, AC = 11 cm, AM = 5 cm y AN = 8 cm.
¿Son paralelas las líneas BC y MN?

En la ilustración, las líneas MN y BC parecen paralelas, ¿pero lo son realmente?
Si MN y BC son paralelas, deberían cumplir el teorema de Tales y, por tanto, la siguiente expresión debería ser verdadera: .
¿Se cumple esta proporción? Comparemos y con los valores numéricos que nos ofrece el enunciado:
y
Hacemos un producto cruzado para comprobar si se trata de fracciones equivalentes y obtenemos que: 5 × 11 8 × 7, por lo tanto, , lo cual significa que: .
y no son iguales, por eso MN y BC no pueden ser paralelas.
Ver también el artículo Aplicar el teorema de Tales (1).