Tales fue un matemático griego que vivió entre los siglos VI y VII a.C. Cuenta la leyenda que fue a Egipto y midió la altura de la pirámide de Keops. Para conseguirlo utilizó el teorema que hoy lleva su nombre. Actualmente sabemos que esta propiedad era conocida desde la época de los babilonios, pero no fue demostrada hasta más tarde.

I. El teorema de Tales

d y d' son dos rectas secantes que se cruzan en el punto A. B y M son dos puntos de la recta d distintos de A, y C y N son dos puntos de la recta d' distintos de A.
Si las rectas BC y MN son paralelas, entonces se cumple que .
Este teorema puede ser aplicado en dos situaciones diferentes, conocidas como situaciones o casos de Tales.
Primer caso: el punto M forma parte del segmento AB y el punto N pertenece al segmento AC.

Segundo caso: el punto A forma parte del segmento MB y el punto A forma parte del segmento NC.

Notas:
—en ambos casos se forman dos triángulos, y , los cuales tienen en común que sus pares de lados son paralelos;
—podemos observar que en la igualdad , los lados de un triángulo (en este caso ) aparecen todos en el numerador, y sus lados correspondientes paralelos en el otro triángulo (en este caso ) aparecen todos en el denominador;
—las ecuaciones formadas por estas tres razones indican que uno de los triángulos es una ampliación del otro (a no ser que estas razones fueran igual a 1, en cuyo caso los dos triángulos serían del mismo tamaño).

II. Aplicaciones del teorema de tales

1. Calcular longitudes
Problema: en la figura 3 los segmentos AC y BD son paralelos. Las longitudes vienen expresadas en centímetros y OA = 2,5, OB = 3, OC = 2 y DB = 4,8. Queremos calcular las longitudes de OD y AC.

Solución: puesto que los segmentos AC y BD son paralelos, podemos aplicar el teorema de Tales.
Tenemos que: ; así que .
A partir de obtenemos que ; esto es, OD = 2,4 cm.
A partir de obtenemos que ; esto es, AC = 4 cm.

2. Construir puntos definidos por las razones dadas entre las longitudes
Problema: tenemos dos puntos A y B y trazamos una recta r que pase por ellos. Queremos dibujar dos puntos I y J en la recta r tal que se cumpla: , todo ello sin usar una regla graduada.
Solución: dibujamos dos rectas paralelas d y d' que corten a la recta r en A y B respectivamente.
Ahora abrimos el compás tanto como la unidad propuesta en la figura 4 y señalamos en d y d´ tantas unidades como nos propone el enunciado: 4 y 7.

Marcamos un punto E en d tal que EA = 4. A continuación, pintamos un punto F en d', tal como hemos hecho con E, de manera que FB = 7. Si trazamos ahora una recta que pase por E y F, esta cortará a la recta r en el punto I.

Comprobemos que el punto I satisface la ecuación requerida en el enunciado: . Los segmentos EA y FB, al pertenecer respectivamente a las rectas d y d’, son paralelos, por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos: .
Sustituyendo EA por 4 y FB por 7 en la ecuación , obtenemos la igualdad que buscábamos: .
A continuación marcamos el punto G. Se trata de un punto de la recta d, situado a la misma distancia de r que el punto E, de manera que AG = 4. Ahora trazamos una recta que pase por el punto F y el punto G, que cortará a la recta r en un punto que llamaremos J.

Comprobamos que el punto J satisface la ecuación requerida en el enunciado del problema: . Los segmentos GA y FB pertenecen respectivamente a las rectas d y d’ y, por lo tanto, son paralelos, por lo que podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos: .
Sustituyendo AG por 4 y BF por 7 en la ecuación , obtenemos la ecuación que deseábamos: .
Ver también el artículo Aplicar el teorema de Tales (2).

Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos