Índice

1. Presentación
2. Propósitos del curso
3. Recomendaciones para el estudio de la geometría
4. Bloque I. Utiliza triángulos: ángulos y relaciones métricas
•  
1. Conceptos básicos de la geometría
•  

2. Estudio de los ángulos
•  

3. Geometría del triángulo
4. Bloque II. Comprende la congruencia de triángulos
•  

3. Concepto de congruencia
•  

2. Criterios de congruencia en triángulos
5. Bloque III. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras
•  

2. Proporcionalidad y Teorema de Tales
•  

2. Semejanza de triángulos
•  

3. Teorema de Pitágoras
6. Bloque IV. Reconoce las propiedades de los polígonos
•  

3. Clasificación y elementos de los polígonos
•  

2. Propiedades matemáticas de los polígonos regulares
•  

3. Relaciones angulares
7. Bloque V. Emplea la circunferencia
•  

3. Conceptos fundamentales
•  

2. Elementos asociados a la circunferencia
•  

3. Relaciones angulares en la circunferencia
•  

4. Áreas y secciones circulares
8. Glosario
9. Ejercicios integradores
10. Cierre

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Presentación

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las formas, sus medidas, sus posiciones y las relaciones entre sus elementos. A diferencia de otros contenidos donde predominan los números y operaciones, la geometría permite observar el espacio, interpretar objetos cotidianos y desarrollar un pensamiento visual y lógico.

En este libro se estudian los conceptos fundamentales que permiten construir una base sólida: punto, recta, plano, ángulos, triángulos, congruencia, semejanza, polígonos y circunferencia. Cada tema se desarrolla paso a paso, buscando que el estudiante no solo memorice definiciones y fórmulas, sino que comprenda por qué funcionan.

El estudio geométrico tiene una gran utilidad práctica. Se aplica en arquitectura, diseño, topografía, ingeniería, arte, robótica, navegación, construcción y en la resolución de problemas cotidianos relacionados con distancias, alturas, áreas y formas.

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Propósitos del curso

Al finalizar el estudio de este material, el estudiante será capaz de:

• Identificar y describir los elementos básicos de la geometría.
• Clasificar y medir ángulos correctamente.
• Reconocer las propiedades y clasificaciones de los triángulos.
• Aplicar criterios de congruencia para justificar que dos triángulos son iguales en forma y tamaño.
• Resolver problemas de semejanza usando razones y proporciones.
• Aplicar el Teorema de Pitágoras en situaciones reales y geométricas.
• Clasificar polígonos y calcular diagonales, sumas angulares y medidas interiores y exteriores.
• Diferenciar circunferencia y círculo, así como identificar sus elementos.
• Resolver problemas relacionados con ángulos, arcos, perímetros y áreas circulares.

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Recomendaciones para el estudio de la geometría

1. Dibuja siempre que sea posible.
   La geometría se entiende mejor al observar y construir figuras.
2. Usa regla, transportador y compás.
   Estos instrumentos ayudan a comprobar visualmente lo que se aprende.
3. Nombra correctamente los puntos y segmentos.
   Una figura mal nombrada genera confusiones.
4. No memorices sin comprender.
   Cada fórmula y propiedad debe relacionarse con una idea geométrica.
5. Justifica tus respuestas.
   En geometría no basta con dar el resultado: hay que explicar por qué.

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BLOQUE I. Utiliza triángulos: ángulos y relaciones métricas

Este bloque establece las bases del pensamiento geométrico. Antes de trabajar con figuras más complejas, es indispensable comprender qué son los elementos básicos del espacio y cómo se relacionan entre sí.

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1. Conceptos básicos de la geometría

1.1 El punto

El punto representa una posición en el espacio.
No tiene longitud, anchura ni grosor. Solo indica ubicación.

Se suele nombrar con una letra mayúscula:

A, B, C

Idea clave:
El punto no se mide; únicamente se localiza.

Figura esquemática:

• A

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1.2 La línea

Una línea es una sucesión continua de puntos.
Puede ser recta o curva. En geometría básica, cuando se habla de línea con frecuencia se hace referencia a la recta.

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1.3 La recta

La recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.
No tiene principio ni fin.

Se representa con dos puntos y flechas en ambos extremos.

Figura esquemática:

←──────────────→
 A            B

Se nombra como recta AB o AB↔\overleftrightarrow{AB}AB.

Propiedad importante:
Por dos puntos distintos pasa una sola recta.

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1.4 El segmento

El segmento es una parte de una recta limitada por dos extremos.

Figura esquemática:

A────────────B

Se escribe como AB‾\overline{AB}AB.

Diferencia entre recta y segmento:

• La recta es infinita.
• El segmento tiene longitud definida.

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1.5 La semirrecta

La semirrecta tiene un punto de origen pero se prolonga indefinidamente en un solo sentido.

Figura esquemática:

A────────────→

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1.6 El plano

El plano es una superficie plana que se extiende indefinidamente en todas las direcciones.

Podemos imaginarlo como una hoja de papel sin bordes.

Características del plano:

• Tiene dos dimensiones: largo y ancho.
• En él se representan puntos, rectas, segmentos, ángulos y figuras planas.

Figura esquemática:

  __________________
 /                /
/________________/

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1.7 Relaciones básicas entre punto, recta y plano

• Un punto puede pertenecer o no a una recta.
• Una recta puede estar contenida en un plano.
• Dos rectas en un plano pueden cortarse, ser paralelas o coincidir.

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1.8 Rectas paralelas y secantes

Rectas paralelas: nunca se cortan y mantienen siempre la misma distancia.

──────────────
──────────────

Rectas secantes: se cortan en un punto.

\        /
 \      /
  \    /
   \  /
    \/
    /\
   /  \

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2. Estudio de los ángulos

2.1 ¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado vértice.

Figura esquemática:

      B
     /
    /
   A────────C

Aquí, el vértice es A y el ángulo puede nombrarse como ∠BAC\angle BAC∠BAC o ∠CAB\angle CAB∠CAB.

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2.2 Medida de los ángulos

La medida de un ángulo se expresa en grados (°)(°)(°).

Una vuelta completa mide:

360∘360^\circ360∘

Media vuelta mide:

180∘180^\circ180∘

Un cuarto de vuelta mide:

90∘90^\circ90∘

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2.3 Uso del transportador

El transportador sirve para medir ángulos.

Pasos para medir un ángulo:

1. Colocar el centro del transportador sobre el vértice.
2. Alinear uno de los lados del ángulo con la línea base del transportador.
3. Leer en la escala el valor donde corta el otro lado.

Errores frecuentes:

• Colocar mal el centro del transportador.
• Leer la escala incorrecta.
• Medir desde el lado equivocado.

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2.4 Clasificación de los ángulos

a) Ángulo agudo

Mide más de 0∘0^\circ0∘ y menos de 90∘90^\circ90∘.

Ejemplo: 35∘35^\circ35∘

b) Ángulo recto

Mide exactamente 90∘90^\circ90∘.

c) Ángulo obtuso

Mide más de 90∘90^\circ90∘ y menos de 180∘180^\circ180∘.

Ejemplo: 120∘120^\circ120∘

d) Ángulo llano

Mide exactamente 180∘180^\circ180∘.

e) Ángulo cóncavo o reflejo

Mide más de 180∘180^\circ180∘ y menos de 360∘360^\circ360∘.

f) Ángulo completo

Mide 360∘360^\circ360∘.

Esquema resumido:

Agudo      < 90°
Recto      = 90°
Obtuso     > 90° y < 180°
Llano      = 180°
Cóncavo    > 180° y < 360°
Completo   = 360°

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2.5 Parejas de ángulos

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si su suma es:

90∘90^\circ90∘

Ejemplo: 35∘35^\circ35∘ y 55∘55^\circ55∘

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Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si su suma es:

180∘180^\circ180∘

Ejemplo: 110∘110^\circ110∘ y 70∘70^\circ70∘

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Ángulos conjugados

Dos ángulos son conjugados si su suma es:

360∘360^\circ360∘

Ejemplo: 220∘220^\circ220∘ y 140∘140^\circ140∘

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2.6 Ángulos opuestos por el vértice

Cuando dos rectas se cortan, forman cuatro ángulos. Los que quedan frente a frente se llaman opuestos por el vértice y siempre son iguales.

Figura esquemática:

 \   /
  \ /
   X
  / \
 /   \

Si uno mide 50∘50^\circ50∘, el opuesto también mide 50∘50^\circ50∘.

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2.7 Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Cuando una recta transversal corta a dos rectas paralelas, se forman pares de ángulos con relaciones muy importantes.

Esquema:

──────────────
     /
    /
   /
──────────────

a) Ángulos correspondientes

Están en la misma posición relativa en cada intersección.
Son iguales si las rectas son paralelas.

b) Ángulos alternos internos

Están entre las paralelas y en lados opuestos de la transversal.
Son iguales.

c) Ángulos alternos externos

Están fuera de las paralelas y en lados opuestos de la transversal.
Son iguales.

d) Ángulos interiores del mismo lado de la transversal

Aunque no los mencionaste explícitamente como categoría aparte, conviene conocerlos:
suman 180∘180^\circ180∘.

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2.8 Importancia de estas relaciones

Estas propiedades permiten:

• Calcular ángulos desconocidos.
• Justificar paralelismo.
• Resolver problemas geométricos con precisión.
• Preparar el estudio de triángulos y polígonos.

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3. Geometría del triángulo

El triángulo es la figura poligonal más simple. Está formado por tres lados, tres vértices y tres ángulos. A pesar de su simplicidad, es una figura fundamental en toda la geometría.

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3.1 Elementos del triángulo

En un triángulo ABCABCABC:

• Los lados son: ABABAB, BCBCBC, CACACA
• Los vértices son: AAA, BBB, CCC
• Los ángulos internos son: ∠A\angle A∠A, ∠B\angle B∠B, ∠C\angle C∠C

Figura esquemática:

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B───────C

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3.2 Clasificación de triángulos por sus lados

a) Equilátero

Tiene sus tres lados iguales.

Propiedad importante:
También tiene sus tres ángulos iguales, de 60∘60^\circ60∘ cada uno.

b) Isósceles

Tiene dos lados iguales.

Propiedad importante:
Los ángulos opuestos a esos lados iguales también son iguales.

c) Escaleno

Tiene todos sus lados diferentes.
Sus ángulos también son, en general, diferentes.

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3.3 Clasificación de triángulos por sus ángulos

a) Acutángulo

Tiene sus tres ángulos agudos.

b) Rectángulo

Tiene un ángulo recto (90∘)(90^\circ)(90∘).

c) Obtusángulo

Tiene un ángulo obtuso.

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3.4 Suma de los ángulos internos de un triángulo

Una propiedad fundamental de todo triángulo es:

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ∠A+∠B+∠C=180∘

Esta regla es universal para cualquier triángulo en geometría plana.

Ejemplo:

Si dos ángulos de un triángulo miden 50∘50^\circ50∘ y 60∘60^\circ60∘, entonces el tercero mide:

180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ180∘−50∘−60∘=70∘

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3.5 Observaciones importantes

• Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos.
• Un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos.
• En todo triángulo, el lado mayor está frente al ángulo mayor.

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3.6 Ejemplo resuelto

En un triángulo, un ángulo mide 45∘45^\circ45∘ y otro mide 85∘85^\circ85∘. Hallar el tercero.

180∘−45∘−85∘=50∘180^\circ - 45^\circ - 85^\circ = 50^\circ180∘−45∘−85∘=50∘

Respuesta: el tercer ángulo mide 50∘50^\circ50∘.

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3.7 Aplicación en la vida real

Los triángulos aparecen en:

• techos de casas,
• puentes,
• estructuras metálicas,
• soportes de torres,
• diseño mecánico.

Se usan porque proporcionan gran estabilidad estructural.

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BLOQUE II. Comprende la congruencia de triángulos

La congruencia permite determinar cuándo dos figuras tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño.

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1. Concepto de congruencia

1.1 Definición intuitiva

Dos figuras son congruentes cuando al superponerse coinciden perfectamente.

Esto significa que:

• tienen la misma forma,
• tienen el mismo tamaño,
• sus lados correspondientes son iguales,
• sus ángulos correspondientes son iguales.

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1.2 Relación con la igualdad algebraica

En álgebra, cuando escribimos:

a=ba = ba=b

indicamos igualdad entre cantidades.

En geometría, la congruencia se expresa con el símbolo:

≅\cong≅

Por ejemplo:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF

Esto significa que ambos triángulos son iguales en forma y medida.

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1.3 Igualdad de segmentos

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

Si AB‾\overline{AB}AB y CD‾\overline{CD}CD miden lo mismo, entonces:

AB‾≅CD‾\overline{AB} \cong \overline{CD}AB≅CD

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1.4 Igualdad de ángulos

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Si ∠A=40∘\angle A = 40^\circ∠A=40∘ y ∠B=40∘\angle B = 40^\circ∠B=40∘, entonces:

∠A≅∠B\angle A \cong \angle B∠A≅∠B

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2. Criterios de congruencia en triángulos

Para demostrar que dos triángulos son congruentes no es necesario medir absolutamente todo. Existen criterios suficientes.

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2.1 Elementos correspondientes u homólogos

Cuando comparamos dos triángulos congruentes, debemos identificar qué lado corresponde a cuál y qué ángulo corresponde a cuál.

Por ejemplo, si:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF

entonces:

• A↔DA \leftrightarrow DA↔D
• B↔EB \leftrightarrow EB↔E
• C↔FC \leftrightarrow FC↔F

Lados homólogos:

• AB↔DEAB \leftrightarrow DEAB↔DE
• BC↔EFBC \leftrightarrow EFBC↔EF
• CA↔FDCA \leftrightarrow FDCA↔FD

Ángulos homólogos:

• ∠A↔∠D\angle A \leftrightarrow \angle D∠A↔∠D
• ∠B↔∠E\angle B \leftrightarrow \angle E∠B↔∠E
• ∠C↔∠F\angle C \leftrightarrow \angle F∠C↔∠F

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2.2 Criterio L.L.L. (Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son iguales.

Ejemplo:

Si en dos triángulos se cumple:

• AB=DEAB = DEAB=DE
• BC=EFBC = EFBC=EF
• CA=FDCA = FDCA=FD

entonces:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF

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2.3 Criterio L.A.L. (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.

Importancia:

El ángulo debe estar entre los dos lados comparados.

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2.4 Criterio A.L.A. (Ángulo-Lado-Ángulo)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado comprendido entre ellos también es igual.

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2.5 ¿Por qué sirven estos criterios?

Porque garantizan que no existe forma de construir dos triángulos distintos con esos mismos datos.

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2.6 Ejemplo razonado

Supongamos que:

• AB=DEAB = DEAB=DE
• AC=DFAC = DFAC=DF
• ∠A=∠D\angle A = \angle D∠A=∠D

Como el ángulo está comprendido entre esos lados, entonces:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF△ABC≅△DEF

por el criterio L.A.L.

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2.7 Aplicaciones de la congruencia

La congruencia se usa para:

• demostrar igualdad de lados o ángulos,
• justificar simetrías,
• resolver construcciones geométricas,
• estudiar figuras compuestas,
• fundamentar demostraciones.

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BLOQUE III. Resuelve problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras

En este bloque se estudian triángulos que conservan la forma pero no necesariamente el tamaño, así como una de las relaciones más importantes de la geometría: el Teorema de Pitágoras.

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1. Proporcionalidad y Teorema de Tales

1.1 Segmentos proporcionales

Dos razones forman una proporción cuando son iguales.

ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​

En geometría, esto permite comparar longitudes que guardan una misma relación.

Ejemplo:

Si un segmento mide el doble que otro, la razón es 2:12:12:1.

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1.2 Idea de proporcionalidad

Cuando una figura aumenta o disminuye manteniendo su forma, sus lados cambian proporcionalmente.

Por ejemplo, si todos los lados se multiplican por 2, la figura conserva su forma.

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1.3 Teorema de Tales

El Teorema de Tales, en su aplicación más común en geometría escolar, establece que si varias rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos determinados son proporcionales.

Esquema conceptual:

A------B------C
 \     |     /
  \    |    /
   \   |   /
D------E------F

Si las líneas que generan las divisiones son paralelas, entonces las longitudes correspondientes guardan proporción.

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1.4 Aplicaciones prácticas del Teorema de Tales

Se utiliza para:

• calcular alturas inaccesibles,
• medir distancias indirectamente,
• trabajar con sombras,
• interpretar escalas y planos.

Ejemplo clásico:

Si un objeto y su sombra guardan la misma relación que un poste y su sombra, puede calcularse la altura del poste sin medirlo directamente.

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2. Semejanza de triángulos

2.1 Concepto de semejanza

Dos triángulos son semejantes cuando:

• tienen la misma forma,
• sus ángulos correspondientes son iguales,
• sus lados correspondientes son proporcionales.

A diferencia de la congruencia, en la semejanza el tamaño puede cambiar.

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2.2 Razón de semejanza

Es el número que indica cuánto se amplía o reduce una figura respecto de otra.

Si la razón de semejanza es 2, cada lado del triángulo mayor mide el doble que el correspondiente del menor.

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2.3 Criterios de semejanza

a) Ángulo-Ángulo (A.A.)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos de otro, entonces los triángulos son semejantes.

Esto basta porque el tercer ángulo queda determinado por la suma de 180∘180^\circ180∘.

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b) Lado-Ángulo-Lado proporcional

Si dos lados correspondientes son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes.

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c) Lado-Lado-Lado proporcional

Si los tres lados correspondientes son proporcionales, los triángulos son semejantes.

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2.4 Ejemplo resuelto

Si un triángulo tiene lados 3, 4 y 5, y otro tiene lados 6, 8 y 10, entonces:

63=2,84=2,105=2\frac{6}{3}=2,\quad \frac{8}{4}=2,\quad \frac{10}{5}=236​=2,48​=2,510​=2

Como las tres razones son iguales, los triángulos son semejantes.

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2.5 Utilidad de la semejanza

La semejanza es fundamental para:

• mapas y escalas,
• maquetas,
• ampliaciones y reducciones,
• fotografía,
• perspectiva,
• cálculo indirecto de longitudes.

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3. Teorema de Pitágoras

3.1 Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo de 90∘90^\circ90∘.

Los lados que forman ese ángulo se llaman catetos.
El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Figura esquemática:

|\
| \
|  \
|   \
|____\

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3.2 Enunciado del Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2

donde:

• aaa y bbb son los catetos,
• ccc es la hipotenusa.

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3.3 Interpretación

El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene área igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

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3.4 Ejemplo resuelto

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4, hallar la hipotenusa.

32+42=c23^2 + 4^2 = c^232+42=c2 9+16=c29 + 16 = c^29+16=c2 25=c225 = c^225=c2 c=5c = 5c=5

Respuesta: la hipotenusa mide 5.

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3.5 Cálculo de un cateto

Si se conoce la hipotenusa y un cateto, se puede hallar el otro despejando.

Ejemplo:

Hipotenusa =13=13=13, un cateto =5=5=5

52+b2=1325^2 + b^2 = 13^252+b2=132 25+b2=16925 + b^2 = 16925+b2=169 b2=144b^2 = 144b2=144 b=12b = 12b=12

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3.6 Aplicaciones del teorema

Se usa para:

• calcular diagonales,
• hallar distancias entre puntos,
• resolver problemas de altura,
• analizar rampas y escaleras,
• trabajar con coordenadas.

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3.7 Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa

En triángulos semejantes rectángulos, las medidas de catetos e hipotenusa conservan proporciones. Esto permite comparar triángulos del mismo tipo sin necesidad de medir todos sus lados directamente.

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BLOQUE IV. Reconoce las propiedades de los polígonos

Un polígono es una figura plana cerrada formada por segmentos de recta.

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1. Clasificación y elementos de los polígonos

1.1 Definición de polígono

Un polígono es una figura cerrada compuesta únicamente por segmentos rectos.

No puede tener curvas ni estar abierta.

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1.2 Clasificación según número de lados

• 3 lados: triángulo
• 4 lados: cuadrilátero
• 5 lados: pentágono
• 6 lados: hexágono
• 7 lados: heptágono
• 8 lados: octágono
• 9 lados: eneágono o nonágono
• 10 lados: decágono

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1.3 Clasificación según regularidad

Polígono regular

Tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Ejemplo: cuadrado, pentágono regular, hexágono regular.

Polígono irregular

No tiene todos sus lados o ángulos iguales.

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1.4 Clasificación según convexidad

Convexo

Todos sus ángulos interiores son menores que 180∘180^\circ180∘.
Ninguna diagonal queda fuera de la figura.

Cóncavo

Al menos uno de sus ángulos interiores es mayor que 180∘180^\circ180∘.
Alguna diagonal puede quedar fuera de la figura.

Como en tu lista aparece “convexos”, conviene aclarar que su opuesto es “cóncavos”, para completar la idea.

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1.5 Elementos geométricos

Vértices

Puntos donde se unen dos lados.

Lados

Segmentos que forman el contorno.

Diagonales

Segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Centro

Punto equidistante de los vértices en polígonos regulares.

Radio

Segmento del centro a un vértice.

Apotema

Segmento del centro al punto medio de un lado, perpendicular a ese lado.

Figura conceptual de polígono regular:

      •
   /     \
  •       •
  |   •   |
  •       •
   \     /
      •

---

2. Propiedades matemáticas de los polígonos regulares

2.1 Diagonales desde un solo vértice

La cantidad de diagonales que pueden trazarse desde un solo vértice de un polígono de nnn lados es:

d=n−3d = n - 3d=n−3

¿Por qué?

Desde un vértice no puede trazarse diagonal hacia sí mismo ni hacia los dos vértices adyacentes, porque esos segmentos ya son lados.

Ejemplo:

En un hexágono (n=6)(n=6)(n=6):

d=6−3=3d = 6 - 3 = 3d=6−3=3

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2.2 Total de diagonales de un polígono

La fórmula es:

D=n(n−3)2D = \frac{n(n-3)}{2}D=2n(n−3)​

Explicación:

Si cada vértice genera n−3n-3n−3 diagonales, al multiplicar por nnn se cuentan todas, pero cada diagonal aparece dos veces, por eso se divide entre 2.

Ejemplo:

En un octágono (n=8)(n=8)(n=8):

D=8(8−3)2=8⋅52=20D=\frac{8(8-3)}{2}=\frac{8\cdot5}{2}=20D=28(8−3)​=28⋅5​=20

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3. Relaciones angulares

3.1 Suma de los ángulos internos

La suma de los ángulos internos de un polígono de nnn lados es:

S=(n−2)⋅180∘S=(n-2)\cdot 180^\circS=(n−2)⋅180∘

Justificación:

Un polígono puede dividirse en triángulos trazando diagonales desde un solo vértice. Como cada triángulo suma 180∘180^\circ180∘, se multiplica por el número de triángulos.

Ejemplo:

Pentágono (n=5)(n=5)(n=5)

S=(5−2)⋅180∘=540∘S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circS=(5−2)⋅180∘=540∘

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3.2 Medida de cada ángulo interior en un polígono regular

Si el polígono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales. Entonces:

Aˊngulo interior=(n−2)⋅180∘n\text{Ángulo interior}=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}Aˊngulo interior=n(n−2)⋅180∘​

Ejemplo:

Hexágono regular (n=6)(n=6)(n=6)

(6−2)⋅180∘6=720∘6=120∘\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}=\frac{720^\circ}{6}=120^\circ6(6−2)⋅180∘​=6720∘​=120∘

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3.3 Ángulos exteriores

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono convexo, tomando uno por vértice y en el mismo sentido, es:

360∘360^\circ360∘

Si el polígono es regular:

Aˊngulo exterior=360∘n\text{Ángulo exterior}=\frac{360^\circ}{n}Aˊngulo exterior=n360∘​

Ejemplo:

Octágono regular:

360∘8=45∘\frac{360^\circ}{8}=45^\circ8360∘​=45∘

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3.4 Ángulo central

En un polígono regular, el ángulo central también se calcula como:

360∘n\frac{360^\circ}{n}n360∘​

Esto ocurre porque la figura se divide desde el centro en sectores congruentes.

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BLOQUE V. Emplea la circunferencia

Este bloque estudia una de las figuras más importantes de la geometría: la circunferencia y la región que delimita.

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1. Conceptos fundamentales

1.1 Circunferencia y círculo

Es muy importante no confundir estos términos.

Circunferencia

Es la línea curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Círculo

Es la región del plano limitada por la circunferencia.

En términos sencillos:

• La circunferencia es el borde.
• El círculo es toda la superficie interior.

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2. Elementos asociados a la circunferencia

2.1 Centro

Punto fijo del cual todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia.

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2.2 Radio

Segmento que va del centro a cualquier punto de la circunferencia.

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2.3 Diámetro

Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Propiedad:

d=2rd = 2rd=2r

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2.4 Cuerda

Segmento que une dos puntos de la circunferencia, sin necesidad de pasar por el centro.

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2.5 Tangente

Recta que toca la circunferencia en un solo punto.

Propiedad importante:
La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

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2.6 Secante

Recta que corta la circunferencia en dos puntos.

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2.7 Propiedad de las tangentes desde un punto exterior

Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes.

Esquema conceptual:

      \   /
       \ /
        P
       / \
      /   \
   (circunferencia)

Si desde PPP salen dos tangentes, ambas tienen la misma longitud desde PPP hasta los puntos de tangencia.

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3. Relaciones angulares en la circunferencia

3.1 Ángulo central

Tiene su vértice en el centro.

Medida:
Es igual a la medida del arco que intercepta.

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3.2 Ángulo inscrito

Tiene su vértice sobre la circunferencia.

Propiedad:

Aˊngulo inscrito=12 del arco interceptado\text{Ángulo inscrito}=\frac{1}{2}\text{ del arco interceptado}Aˊngulo inscrito=21​ del arco interceptado

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3.3 Ángulo semiinscrito

Se forma por una tangente y una cuerda, con vértice en la circunferencia.

Su medida es la mitad del arco interceptado.

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3.4 Ángulo interior

Se forma por la intersección de dos cuerdas dentro de la circunferencia.

Su medida es la mitad de la suma de los arcos interceptados por el ángulo y su opuesto.

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3.5 Ángulo exterior

Se forma fuera de la circunferencia mediante secantes, tangentes o una combinación de ambas.

Su medida es la mitad de la diferencia de los arcos interceptados.

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3.6 Medición de arcos

• El arco se mide en grados.
• Un arco completo mide 360∘360^\circ360∘.
• Un semicírculo mide 180∘180^\circ180∘.
• Un cuadrante mide 90∘90^\circ90∘.

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4. Áreas y secciones circulares

4.1 Longitud de la circunferencia

El perímetro de la circunferencia se calcula con:

C=2πrC = 2\pi rC=2πr

o también:

C=πdC = \pi dC=πd

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4.2 Área del círculo

A=πr2A = \pi r^2A=πr2

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4.3 Semicírculo

Es la mitad de un círculo.

• Perímetro curvo: la mitad de la circunferencia.
• Área:

A=πr22A=\frac{\pi r^2}{2}A=2πr2​

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4.4 Cuadrante circular

Es la cuarta parte de un círculo.

A=πr24A=\frac{\pi r^2}{4}A=4πr2​

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4.5 Sector circular

Es la región limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos.

Si el ángulo central mide θ\thetaθ, entonces:

A=θ360∘πr2A=\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2A=360∘θ​πr2

y la longitud del arco es:

L=θ360∘⋅2πrL=\frac{\theta}{360^\circ}\cdot 2\pi rL=360∘θ​⋅2πr

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4.6 Segmento circular

Es la región comprendida entre una cuerda y el arco que determina.

No debe confundirse con el sector circular.

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4.7 Trapecio circular

Es la región comprendida entre dos radios de distinta longitud y dos arcos concéntricos, como una “rebanada anular”.

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4.8 Corona circular

Es la región comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

Si el radio mayor es RRR y el menor es rrr, su área es:

A=πR2−πr2=π(R2−r2)A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)A=πR2−πr2=π(R2−r2)

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Glosario básico

Ángulo: abertura formada por dos semirrectas con origen común.
Apotema: distancia del centro al punto medio de un lado en un polígono regular.
Arco: parte de una circunferencia.
Catetos: lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo.
Congruencia: igualdad de forma y tamaño.
Cuerda: segmento que une dos puntos de una circunferencia.
Diámetro: cuerda que pasa por el centro.
Hipotenusa: lado opuesto al ángulo recto.
Polígono regular: tiene todos sus lados y ángulos iguales.
Radio: segmento del centro a la circunferencia.
Semejanza: igualdad de forma, aunque no necesariamente de tamaño.
Tangente: recta que toca la circunferencia en un solo punto.
Transversal: recta que corta a otras rectas.

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Ejercicios integradores

Bloque I

1. Clasifica los siguientes ángulos: 25∘25^\circ25∘, 90∘90^\circ90∘, 145∘145^\circ145∘, 180∘180^\circ180∘.
2. Si un ángulo mide 38∘38^\circ38∘, calcula su complemento.
3. Si un ángulo mide 122∘122^\circ122∘, calcula su suplemento.
4. En un triángulo dos ángulos miden 40∘40^\circ40∘ y 65∘65^\circ65∘. ¿Cuánto mide el tercero?
5. Clasifica un triángulo con lados 5, 5 y 8.

Bloque II

6. Explica con tus palabras qué significa que dos triángulos sean congruentes.
7. Identifica lados y ángulos homólogos en dos triángulos dados.
8. Determina si dos triángulos con lados correspondientes iguales son congruentes. ¿Por qué?
9. Resuelve un caso de congruencia por L.A.L.
10. Resuelve un caso de congruencia por A.L.A.

Bloque III

11. Si dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 3, ¿qué ocurre con los lados correspondientes?
12. En un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8, calcula la hipotenusa.
13. En un triángulo rectángulo con hipotenusa 10 y un cateto 6, calcula el otro.
14. Usa proporcionalidad para hallar una longitud faltante en dos triángulos semejantes.
15. Explica una situación real donde usarías el Teorema de Tales.

Bloque IV

16. ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono?
17. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice de un decágono?
18. Calcula la suma de ángulos interiores de un nonágono.
19. Calcula cada ángulo interior de un pentágono regular.
20. Calcula el ángulo exterior de un octágono regular.

Bloque V

21. Explica la diferencia entre circunferencia y círculo.
22. Calcula la longitud de una circunferencia de radio 7.
23. Calcula el área de un círculo de radio 5.
24. Halla el área de un semicírculo de radio 8.
25. Si un sector circular tiene ángulo central de 60∘60^\circ60∘ y radio 9, calcula su área.

La geometría permite comprender el espacio con orden, precisión y lógica. Desde los elementos más simples, como el punto y la recta, hasta estructuras más complejas, como los polígonos y la circunferencia, todo forma parte de un mismo lenguaje matemático.

El dominio de estos temas no depende solo de memorizar definiciones o fórmulas, sino de desarrollar la capacidad de observar, comparar, justificar y resolver problemas. Quien aprende geometría no solo aprende figuras: aprende a pensar con claridad.