Suma, Resta y Multiplicación de Polinomios: Operaciones Fundamentales

Introducción

Las operaciones con polinomios son la base del álgebra. Dominarlas te permite resolver ecuaciones, factorizar expresiones y trabajar con funciones.

Suma de Polinomios

Regla: Sumar los términos semejantes (misma variable y mismo exponente).

Método 1: Horizontal

Ejemplo #1: (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3)

``` = 3x² + 2x - 5 + x² - 4x + 3 = (3x² + x²) + (2x - 4x) + (-5 + 3) = 4x² - 2x - 2 ```

Método 2: Vertical

Ejemplo #2: Sumar (2x³ + 5x - 1) + (x³ - 3x² + 2)

``` 2x³ + 0x² + 5x - 1 + x³ - 3x² + 0x + 2 ───────────────────── 3x³ - 3x² + 5x + 1 ```

Resta de Polinomios

Regla: Cambiar los signos del segundo polinomio y sumar.

Ejemplo #3: (5x² + 3x - 2) - (2x² - x + 4)

``` = 5x² + 3x - 2 - 2x² + x - 4 = (5x² - 2x²) + (3x + x) + (-2 - 4) = 3x² + 4x - 6 ```

Método vertical: ``` 5x² + 3x - 2 -(2x² - x + 4) ───────────── 3x² + 4x - 6 ```

Multiplicación de Polinomios

Caso 1: Monomio × Polinomio

Propiedad distributiva: Multiplica el monomio por cada término.

Ejemplo #4: 3x(2x² - 5x + 4)

``` = 3x·2x² - 3x·5x + 3x·4 = 6x³ - 15x² + 12x ```

Caso 2: Binomio × Binomio

Método FOIL: First, Outer, Inner, Last

Ejemplo #5: (x + 3)(x + 5)

``` F: x·x = x² O: x·5 = 5x I: 3·x = 3x L: 3·5 = 15

= x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15 ```

Ejemplo #6: (2x - 3)(x + 4)

``` = 2x·x + 2x·4 - 3·x - 3·4 = 2x² + 8x - 3x - 12 = 2x² + 5x - 12 ```

Caso 3: Polinomio × Polinomio

Método: Multiplica cada término del primero por todos los del segundo.

Ejemplo #7: (x² + 2x - 1)(x - 3)

``` = x²·x + x²·(-3) + 2x·x + 2x·(-3) + (-1)·x + (-1)·(-3) = x³ - 3x² + 2x² - 6x - x + 3 = x³ - x² - 7x + 3 ```

Método vertical: ``` x² + 2x - 1 × x - 3 ───────────── -3x² - 6x + 3 (multiplicar por -3) x³ + 2x² - x (multiplicar por x) ──────────────────── x³ - x² - 7x + 3 ```

Productos Notables Básicos

Cuadrado de un Binomio

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ejemplo #8: (x + 5)² ``` = x² + 2(x)(5) + 5² = x² + 10x + 25 ```

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Ejemplo #9: (x - 3)² ``` = x² - 2(x)(3) + 3² = x² - 6x + 9 ```

Suma por Diferencia

(a + b)(a - b) = a² - b²

Ejemplo #10: (x + 4)(x - 4) ``` = x² - 4² = x² - 16 ```

Ejercicios Resueltos

Problema #1: Sumar (3x² - 2x + 1) + (x² + 5x - 3) ``` Solución: 4x² + 3x - 2 ```

Problema #2: Restar (5x³ - 2x + 7) - (3x³ + x² - 2x) ``` Solución: 2x³ - x² + 14 ```

Problema #3: Multiplicar 2x(3x² - 4x + 5) ``` Solución: 6x³ - 8x² + 10x ```

Problema #4: (2x + 1)(x - 3) ``` Solución: 2x² - 6x + x - 3 = 2x² - 5x - 3 ```

Ejercicios para Practicar

Nivel Básico: 1. (2x + 3) + (x - 1) = ? 2. (5x - 2) - (3x + 1) = ? 3. 3(x + 4) = ?

Nivel Intermedio: 4. (x² + 2x - 3) + (2x² - x + 1) = ? 5. (x + 2)(x + 3) = ? 6. (x - 5)² = ?

Nivel Avanzado: 7. (2x² - 3x + 1) - (x² + 2x - 4) = ? 8. (x + 3)(x² - 2x + 1) = ? 9. (x + 2)(x - 2) = ?

Soluciones

Conclusión

Las operaciones con polinomios siguen reglas sistemáticas. Domina estas operaciones y estarás preparado para ecuaciones y factorización.

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Palabras clave: suma de polinomios, resta de polinomios, multiplicación de polinomios, productos notables, operaciones algebraicas