Sucesiones aritméticas y geométricas

El origen de los patrones numéricos

Las sucesiones son listas ordenadas de números con una regla de formación. Las dos familias más importantes —y las que aparecen en casi toda la matemática aplicada— son las aritméticas (diferencia constante) y las geométricas (razón constante).

Sucesión aritmética

Una sucesión aritmética es aquella en la que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma, llamada razón o diferencia común d:

a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ...

Término general

aₙ = a₁ + (n−1)·d

Suma de los primeros n términos

Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 = n·(2a₁ + (n−1)d)/2

Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, ... (d = 4) - a₁₀ = 3 + 9·4 = 39 - S₁₀ = 10·(3 + 39)/2 = 210

Sucesión geométrica

Una sucesión geométrica es aquella en la que el cociente entre términos consecutivos es siempre el mismo, llamado razón geométrica r:

a₁, a₁·r, a₁·r², a₁·r³, ...

Término general

aₙ = a₁·r^(n−1)

Suma de los primeros n términos (r ≠ 1)

Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r)

Ejemplo: 2, 6, 18, 54, ... (r = 3) - a₅ = 2·3⁴ = 162 - S₅ = 2·(1−243)/(1−3) = 2·(−242)/(−2) = 242

Identificar el tipo de sucesión

Aplicaciones

Interés simple (aritmética)

Un capital C₀ con interés simple tasa i genera C₀, C₀ + C₀i, C₀ + 2C₀i, ...

Cₙ = C₀(1 + n·i)

Interés compuesto (geométrica)

Con interés compuesto: C₀, C₀(1+i), C₀(1+i)², ...

Cₙ = C₀·(1+i)ⁿ

La diferencia entre ambos modelos a largo plazo es enorme: el interés compuesto crece mucho más rápido.

Decaimiento radiactivo (geométrica)

Cada período T₁/₂, la masa se reduce a la mitad:

Mₙ = M₀·(1/2)ⁿ

Suma de una serie geométrica infinita

Cuando |r| < 1, la suma infinita converge:

S∞ = a₁/(1 − r)    (|r| < 1)

Ejemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1 − 1/2) = 2.

Resumen comparativo