Introducción
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Estos sistemas modelan situaciones del mundo real donde hay múltiples condiciones.
¿Qué es un Sistema 2×2?
Sistema 2×2: Dos ecuaciones con dos incógnitas.
Forma general: ``` ax + by = c ... ecuación (1) dx + ey = f ... ecuación (2) ```
Ejemplo: ``` 2x + 3y = 13 x - y = 1 ```
Solución de un Sistema
Solución: Par ordenado (x, y) que satisface AMBAS ecuaciones.
Ejemplo: Verificación
¿Es (4, 3) solución del sistema? ``` 2x + y = 11 x - y = 1
Verificar con (4, 3): Primera: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 ✓ Segunda: 4 - 3 = 1 ✓
SÍ es solución ```
Tipos de Sistemas
1. Compatible Determinado
- Una solución única
- Las rectas se cruzan en un punto
- Ejemplo: x + y = 5, x - y = 1 → Solución: (3, 2)
2. Compatible Indeterminado
- Infinitas soluciones
- Las rectas coinciden (son la misma)
- Ejemplo: 2x + y = 4, 4x + 2y = 8
3. Incompatible
- Sin solución
- Las rectas son paralelas (no se cruzan)
- Ejemplo: x + y = 3, x + y = 5
Interpretación Geométrica
Cada ecuación lineal: Representa una recta en el plano.
La solución: Punto donde se cruzan las rectas.
``` y = -2x + 13/3 (de 2x + 3y = 13) y = x - 1 (de x - y = 1)
Punto de intersección: la solución ```
Métodos de Resolución
Hay tres métodos principales (temas siguientes):
1. Sustitución (Tema 24) 2. Igualación (Tema 25) 3. Reducción/Eliminación (Tema 26)
Planteo de Problemas
Problema #1: Edades
"La suma de dos números es 50 y su diferencia es 10. ¿Cuáles son los números?"
Sistema: ``` x + y = 50 x - y = 10 ```
Problema #2: Precios
"Compré 3 manzanas y 2 naranjas por $35. Mi amigo compró 2 manzanas y 4 naranjas por $40. ¿Precio de cada fruta?"
Sistema: ``` 3x + 2y = 35 (x = manzana, y = naranja) 2x + 4y = 40 ```
Problema #3: Mezclas
"Mezclamos café de $80/kg con café de $120/kg. Usamos 10 kg total y gastamos $1000. ¿Cuántos kilos de cada tipo?"
Sistema: ``` x + y = 10 (total kilos) 80x + 120y = 1000 (costo total) ```
Determinación del Tipo de Sistema
Método: Comparar Pendientes
Para ax + by = c: Pendiente = -a/b
Compatible determinado: Pendientes diferentes Compatible indeterminado: Pendientes iguales, ordenadas iguales Incompatible: Pendientes iguales, ordenadas diferentes
Ejemplo
Sistema 1: ``` 2x + y = 5 → m₁ = -2 x - y = 1 → m₂ = 1
Pendientes diferentes → Compatible determinado ```
Sistema 2: ``` x + y = 3 → m₁ = -1 2x + 2y = 10 → m₂ = -1
Pendientes iguales, términos independientes diferentes → Incompatible ```
Ejercicios para Practicar
Nivel Básico:
1. ¿Es (2, 1) solución de x + y = 3 y 2x - y = 3? 2. ¿Es (1, 4) solución de x + y = 5 y x - y = -3? 3. Clasificar: x + y = 7 y x + y = 5
Nivel Intermedio:
4. Plantear sistema: "Dos números suman 15 y restan 3" 5. ¿Qué tipo?: 2x + y = 4 y 4x + 2y = 8 6. Verificar si (3, 2) es solución de 2x + 3y = 12 y x - 2y = -1
Nivel Avanzado:
7. Plantear: "En una granja hay gallinas y conejos. En total son 20 animales y 56 patas" 8. Determinar tipo sin resolver: 3x - y = 5 y 6x - 2y = 15 9. Escribir un sistema compatible indeterminado
Soluciones
1. SÍ (ambas se cumplen) 2. SÍ (ambas se cumplen) 3. Incompatible (paralelas) 4. x + y = 15 y x - y = 3 5. Compatible indeterminado (misma recta) 6. SÍ (verificar: 6+6=12 ✓ y 3-4=-1 ✓) 7. x + y = 20 y 2x + 4y = 56 (x=gallinas, y=conejos) 8. Incompatible (6/-2 = 3/-1 pero 15≠10) 9. Ejemplo: x + y = 5 y 2x + 2y = 10
Conclusión
Los sistemas 2×2 modelan infinidad de situaciones reales. Entender qué representa cada ecuación y qué significa la solución es tan importante como resolverlos.
Puntos clave:
- Sistema: Dos ecuaciones, dos incógnitas
- Solución: Par (x, y) que satisface ambas
- Tres tipos: Determinado, indeterminado, incompatible
- Métodos: Sustitución, igualación, reducción
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Palabras clave: sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones simultáneas, solución de sistemas 2x2, sistemas compatibles incompatibles