Series numéricas y convergencia

Sumar infinitos números: ¿cuándo tiene sentido?

Una serie es la suma de los términos de una sucesión infinita:

Σₙ₌₁^∞ aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ...

La pregunta natural es: ¿puede una suma infinita de números dar un resultado finito? La respuesta es sí, bajo ciertas condiciones, y entender cuándo es el núcleo del estudio de series.

Sumas parciales y convergencia

La suma parcial Sₙ es la suma de los primeros n términos:

Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ

La serie converge a S si:

lim[n→∞] Sₙ = S

Si el límite no existe o es infinito, la serie diverge.

La serie armónica: un ejemplo de divergencia sorprendente

Σ 1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Los términos se acercan a 0, pero la suma parcial crece sin límite (muy lentamente). La serie armónica diverge. Esto muestra que aₙ → 0 es condición necesaria pero NO suficiente para la convergencia.

Condición necesaria de convergencia

Si la serie Σaₙ converge, entonces necesariamente:

lim[n→∞] aₙ = 0

Contrarrecíproco (criterio del término general): si lim aₙ ≠ 0, la serie diverge.

Criterio de la integral

Si f(x) es una función positiva, decreciente y continua en [1, ∞) con aₙ = f(n), entonces:

• Si ∫[1]^∞ f(x) dx converge → Σaₙ converge.
• Si ∫[1]^∞ f(x) dx diverge → Σaₙ diverge.

Ejemplo: Σ 1/n² converge porque ∫[1]^∞ 1/x² dx = 1 (finito).

Ejemplo: Σ 1/n diverge porque ∫[1]^∞ 1/x dx = ∞.

Criterio de comparación

Si 0 ≤ aₙ ≤ bₙ para todo n: - Si Σbₙ converge → Σaₙ converge. - Si Σaₙ diverge → Σbₙ diverge.

Ejemplo: Σ 1/(n² + n) ≤ Σ 1/n² (que converge) → Σ 1/(n²+n) converge.

Series de términos positivos frecuentes

Convergencia absoluta

Una serie Σaₙ converge absolutamente si Σ|aₙ| converge. La convergencia absoluta implica convergencia ordinaria.

Resumen de criterios básicos

lim aₙ ≠ 0  →  Diverge (criterio del término)
Criterio integral: comparar con ∫f(x)dx
Comparación: acotar con serie conocida