Serie geométrica y su suma

La serie más importante del análisis

La serie geométrica es la serie más sencilla, la más útil y la base de la mayoría de las técnicas para sumar series. Su fórmula exacta de suma es uno de los resultados más poderosos de las matemáticas elementales.

Definición y fórmula

La serie geométrica de razón r y primer término a es:

Σₙ₌₀^∞ a·rⁿ = a + ar + ar² + ar³ + ...

Suma de los primeros n términos

Sₙ = a·(1 − rⁿ)/(1 − r)    (r ≠ 1)

Suma de la serie infinita

S∞ = a/(1 − r)    (solo si |r| < 1)

Si |r| ≥ 1, la serie diverge.

Demostración de la fórmula

Sea Sₙ = a + ar + ar² + ... + arⁿ⁻¹.

Multiplicando por r: r·Sₙ = ar + ar² + ... + arⁿ.

Restando: Sₙ − r·Sₙ = a − arⁿ → Sₙ(1−r) = a(1−rⁿ) → Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r).

Cuando |r| < 1 y n → ∞: rⁿ → 0, y S∞ = a/(1−r).

Ejemplos de suma

Ejemplo 1

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
a = 1, r = 1/2
S∞ = 1/(1−1/2) = 2

Ejemplo 2

3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...
a = 3, r = 1/3
S∞ = 3/(1−1/3) = 3/(2/3) = 9/2

Ejemplo 3 — Fracciones decimales periódicas

Demostrar que 0.333... = 1/3:

0.3 + 0.03 + 0.003 + ...
a = 0.3, r = 0.1
S∞ = 0.3/(1−0.1) = 0.3/0.9 = 1/3 ✓

Este es el argumento matemático riguroso de por qué 0.999... = 1.

Ejemplo 4

0.999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
a = 0.9, r = 0.1
S∞ = 0.9/(1−0.1) = 0.9/0.9 = 1 ✓

Series geométricas en aplicaciones

Valor presente de una anualidad

Si recibes pagos P cada año con tasa de interés i indefinidamente, el valor presente total es:

VP = P/(1+i) + P/(1+i)² + P/(1+i)³ + ...
= P · [1/(1+i)] / [1 − 1/(1+i)]
= P/i

Probabilidad geométrica

Si un evento tiene probabilidad p en cada intento, la probabilidad de que ocurra por primera vez en el intento n-ésimo es p·(1−p)^(n−1). La suma de todas estas probabilidades es:

Σ p·(1−p)^(n−1) = p/(1−(1−p)) = 1 ✓

La probabilidad total es 1, como debe ser.

Resumen

S∞ = a/(1−r)  si |r| < 1
Diverge si |r| ≥ 1

La serie geométrica es la "unidad básica" de muchas series más complejas que pueden expresarse como combinaciones o variaciones de ella.