Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

La palabra trigonometría procede del griego y significa “estudio de las relaciones numéricas entre las medidas de un triángulo”. El seno, el coseno y la tangente son tres razones trigonométricas.
¿Cómo calculamos esas razones y cuáles son sus propiedades?

I. Definiciones
Dado un triángulo con ángulo recto en B, consideremos uno de sus ángulos agudos, por ejemplo . El lado BC es el cateto opuesto al ángulo y el lado AB es el cateto contiguo al ángulo .

Podemos definir las tres razones siguientes:
- seno (sen) :

- coseno (cos) :

- tangente (tg) :

Nota: para calcular cualquiera de estas tres razones, las longitudes de los lados del triángulo deben estar expresadas en las mismas unidades.
Ejemplo: si aplicamos estas definiciones al ángulo de la figura 1, obtenemos:
; ;

II. Propiedades
Si aplicamos las definiciones previas al otro ángulo agudo del triángulo de la figura 1, es decir, a , obtenemos:
; ;
Si comparamos con las expresiones para el ángulo , observamos que: ; ;

Así pues, para los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo podemos afirmar que: el seno de uno de los dos ángulos es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por tanto, ya que los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, podemos afirmar que: si dos ángulos (no nulos, diferentes de 0º) son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro, y la tangente de uno es igual a la inversa de la tangente del otro.
Por ejemplo, sen 67° = cos 23° porque el ángulo de 67º y el ángulo de 23º son complementarios (67° + 23° = 90°).

III. Ejemplos
1. Ejemplo 1
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en E, tal que EL = 12 y EM = 5, con las longitudes expresadas en centímetros. Queremos calcular los valores exactos de , y .

Solución: para calcular los valores exactos de y , necesitamos calcular la longitud de la hipotenusa, ML, del triángulo. Como se trata de un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
LM² = EL² + EM², es decir, LM² = 12² + 5², de donde LM² = 169, y LM = = 13.
Por definición: ; y sustituyendo resulta: .
Igualmente: : y sustituyendo resulta: .
Finalmente: ; y sustituyendo resulta: .
Nota: usando una calculadora podemos obtener un valor aproximado para el ángulo , por ejemplo, a partir de .
Para ello, tendremos que introducir la siguiente secuencia de teclas: 12 13 o ( 12 13 ) ; en algunas calculadoras, la tecla equivale a la tecla o .

2. Ejemplo 2
Problema: sea un triángulo rectángulo con su ángulo recto en P, tal que HP = PR = 1 cm. Como este triángulo además de ser rectángulo es isósceles, sabemos que . Queremos calcular los valores exactos del seno, coseno y tangente de estos ángulos de 45º.

Solución: por definición, .
Calculamos el valor exacto de HR, la hipotenusa, usando el teorema de Pitágoras:
HR² = HP² + PR², y sustituyendo valores: HR² = 1² + 1², de donde HR² = 2; así pues .
Entonces , y por tanto, .
Según las propiedades que hemos estudiado anteriormente, y puesto que los dos ángulos y son complementarios y miden 45°, se deduce que y por tanto que .
Por definición, . Así pues ; de donde se deduce que .
En resumen: y .