Semejanza de Triángulos: Proporcionalidad y Aplicaciones

Introducción

Los triángulos semejantes tienen la misma forma pero pueden tener diferente tamaño. Es como una foto y su ampliación.

Definición

Triángulos semejantes: Tienen ángulos iguales y lados proporcionales.

Notación: △ABC ~ △DEF

Condiciones:

• ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F (ángulos iguales)
• AB/DE = BC/EF = CA/FD = k (lados proporcionales)

k: Razón de semejanza o factor de escala

Criterios de Semejanza

1. Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Dos ángulos iguales → triángulos semejantes

Ejemplo: ``` △ABC: ∠A=50°, ∠B=60°, ∠C=70° △DEF: ∠D=50°, ∠E=60°, ∠F=70°

Por AA → △ABC ~ △DEF ```

Nota: Con dos ángulos basta porque el tercero queda determinado (suma 180°).

2. Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos lados proporcionales y ángulo entre ellos igual

Ejemplo: ``` △ABC: AB=6, ∠A=45°, AC=8 △DEF: DE=9, ∠D=45°, DF=12

Verificar proporcionalidad: AB/DE = 6/9 = 2/3 AC/DF = 8/12 = 2/3

Por LAL → △ABC ~ △DEF con k=2/3 ```

3. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Tres lados proporcionales

Ejemplo: ``` △ABC: lados 3, 4, 5 △DEF: lados 6, 8, 10

Razón: 3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2

Por LLL → △ABC ~ △DEF con k=1/2 ```

Razón de Semejanza

k = medida en △1 / medida correspondiente en △2

Propiedades de k

Si △ABC ~ △DEF con k:

• Perímetros: P₁/P₂ = k
• Áreas: A₁/A₂ = k²
• Volúmenes (si fueran sólidos): V₁/V₂ = k³

Ejemplo: ``` △ABC ~ △DEF con k = 2

Si △ABC tiene:

• Perímetro = 20 cm
• Área = 30 cm²

△DEF tendrá:

• Perímetro = 20/2 = 10 cm
• Área = 30/4 = 7.5 cm²

Teorema de Tales

Si paralelas cortan dos rectas, los segmentos son proporcionales.

``` A |\ | \ l₁| \B |---\_ | \ \ l₂| \ \C |\\ D E F

Si l₁ ∥ l₂: AB/BC = DE/EF ```

Aplicación: Calcular Alturas

Problema: Calcular altura de un edificio usando sombras.

``` Persona: altura 1.7m, sombra 2m Edificio: sombra 30m

Por semejanza: 1.7/h = 2/30 h = (1.7 × 30)/2 = 25.5 m ```

Problemas Resueltos

Problema #1: Verificación

¿Son semejantes? ``` △ABC: lados 2, 3, 4 △DEF: lados 4, 6, 8 ```

Solución: ``` Verificar razones: 2/4 = 3/6 = 4/8 = 1/2

SÍ son semejantes con k = 1/2 ```

Problema #2: Hallar Lado

△ABC ~ △DEF con k=3. Si AB=6, hallar DE.

Solución: ``` k = AB/DE 3 = 6/DE DE = 6/3 = 2 ```

Problema #3: Perímetros y Áreas

△ABC ~ △XYZ con k=2. Si perímetro de ABC es 24cm y área 18cm², hallar P y A de XYZ.

Solución: ``` Perímetros: PABC/PXYZ = k 24/P_XYZ = 2 P_XYZ = 12 cm

Áreas: AABC/AXYZ = k² 18/A_XYZ = 4 A_XYZ = 4.5 cm² ```

Problema #4: Teorema de Tales

``` A |\ 3 | \ B--\-- 5 | \ | \ C_\D x

Si AB=3, BC=5, BD=4, hallar CD. ```

Solución: ``` Por Tales: AB/BC = BD/CD 3/5 = 4/CD CD = 20/3 ≈ 6.67 ```

Aplicaciones Prácticas

1. Mapas y Planos

2. Fotografía

3. Arquitectura

4. Mediciones Indirectas

Diferencia: Congruencia vs Semejanza

| Aspecto | Congruencia | Semejanza | |---------|-------------|-----------| | Símbolo | ≅ | ~ | | Lados | Iguales | Proporcionales | | Ángulos | Iguales | Iguales | | Tamaño | Mismo | Puede diferir | | Forma | Misma | Misma |

Ejercicios para Practicar

Nivel Básico: 1. ¿Son semejantes triángulos con lados 1,2,3 y 2,4,6? 2. △ABC ~ △DEF con k=2. Si AB=8, ¿cuánto es DE? 3. ¿Qué criterio: dos ángulos iguales?

Nivel Intermedio: 4. △ABC ~ △XYZ, k=3. Si perímetro ABC=18, hallar perímetro XYZ 5. Triángulos con ángulos 30°-60°-90°. ¿Son semejantes? 6. △ABC ~ △DEF, AB=6, DE=9. Si BC=8, hallar EF

Nivel Avanzado: 7. △ABC ~ △XYZ, k=2. Si área ABC=20cm², hallar área XYZ 8. Altura edificio con sombra 40m. Persona 1.8m con sombra 3m 9. En △ABC, DE∥BC con D en AB, E en AC. Si AD=4, DB=2, AE=6, hallar EC

Soluciones

1. SÍ, k=1/2 2. 4 (8/2=4) 3. AA 4. 6 cm (18/3=6) 5. SÍ (todos los triángulos 30-60-90) 6. 12 (proporcionalidad 6/9=8/EF) 7. 5 cm² (áreas: 20/4=5) 8. 24 m (1.8/h=3/40) 9. 3 (por Tales: 4/2=6/EC)

Conclusión

La semejanza establece proporcionalidad entre triángulos. Es fundamental para mediciones indirectas y escalas.

Puntos clave:

• AA: Dos ángulos iguales
• LAL, LLL: Lados proporcionales
• k: Razón de semejanza
• Perímetros ~k, Áreas ~k²

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