Se puede transformar un punto mediante dos traslaciones sucesivas.
¿Cómo podemos usar esta transformación para definir la suma de dos vectores?
Además, ¿cómo construimos la suma de dos vectores cualesquiera?
I. Composición de dos traslaciones
Observemos la figura 1.
Sea M un punto del plano, y
y
dos vectores cualesquiera; M' es la imagen de M por la traslación de vector
y M'' es la imagen de M' por la traslación de vector
.
Por tanto, M'' es la transformación del punto M por dos traslaciones sucesivas: la traslación de vector
, y después la traslación de vector
. Es lo que llamamos composición de estas dos traslaciones.
Así lo construimos:
Sean
y
dos vectores que representan a
y
;para construir la imagen M', dibujamos un paralelogramo ABM'M tal que
; M' es pues la imagen de M por la traslación de vector
o vector
.
Para construir M'', dibujamos un paralelogramo BCM''M' tal que
; M'' es entonces la imagen de M' por la traslación de vector
o vector
.
Podemos demostrar ahora que ACM''M es un paralelogramo.
Hemos construido los dos paralelogramos ABM'M y BCM''M'. Como los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud, tenemos:
AM || BM', AM = BM', BM' || CM'' y BM'= CM''.
Y de aquí deducimos que: AM || CM'' y AM = CM''.
El cuadrilátero ACM''M tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud, por tanto, es un paralelogramo, y M'' es entonces la imagen de M por la traslación de vector
.
Propiedad: transformar un punto M por dos traslaciones sucesivas de vectores
y
es equivalente a transformar el punto por la traslación de vector
.
II. Suma de dos vectores
1. Definición
Al vector
se la llama vector suma de los vectores
y
. Podemos escribir:
=
+
.
La propiedad demostrada en el apartado I se puede enunciar de nuevo de esta forma: la composición de la traslación de vector
y la traslación de vector
es una traslación de vector
+
.
2. Propiedades de la suma de dos vectores
Propiedad 1: sean
y
dos vectores cualesquiera. Entonces
+
=
+
.
Esta propiedad se ilustra en la figura 4, en la que se ha dibujado el paralelogramo ABCD en el que
=
y
=
. Podemos comprobar que
+
=
+
=
, y
+
=
+
=
, es decir,
+
=
+
.
Propiedad 2: suma de dos vectores opuestos.
y
representan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir:
+
=
.
representa un vector de longitud cero, es decir, su módulo es cero,
. A este vector se le llama vector nulo, y se representa por 0 o
. Este es el único vector que no tiene dirección ni sentido. El vector nulo se representa por un punto.
En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.
III. Construir la suma de dos vectores
1. Usando un triángulo (regla del polígono)
Sean
y
dos vectores, representados respectivamente por
y
.
Para representar la suma
+
, dibujamos un vector que represente a
con origen en B, que llamaremos
. Para ello, construimos el paralelogramo BEDC.
Tendremos entonces que
+
=
+
=
y de esa forma
es un vector que representa al vector
+
.
2. Usando un paralelogramo (regla del paralelogramo)
Sean
y
dos vectores cualesquiera. Supongamos que los vectores que los representan,
y
, tienen elmismo origen A.
Construimos el paralelogramo ABDC; tendremos que:
+
=
+
. Como
=
, ya que ABDC es un paralelogramo, resulta que:
+
=
+
=
.
Así que el vector
+
queda representado por el
.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales