Reglas básicas de derivación

Derivar sin recurrir siempre al límite

Ya entendemos qué es la derivada. Ahora viene la pregunta práctica: ¿cómo se calcula sin tener que resolver un límite cada vez? La respuesta son las reglas de derivación: un conjunto de fórmulas que permiten derivar la mayoría de las funciones de forma rápida y sistemática.

Estas reglas se demuestran usando la definición por límites, pero una vez demostradas puedes aplicarlas directamente. Son el "vocabulario" del cálculo diferencial.

Regla 1 — Derivada de una constante

Si f(x) = c  →  f'(x) = 0

Una función constante no cambia, por lo que su tasa de cambio es cero. Su gráfica es una línea horizontal con pendiente cero.

Ejemplo: f(x) = 7 → f'(x) = 0.

Regla 2 — Regla de la potencia

Esta es la más utilizada de todas:

Si f(x) = xⁿ  →  f'(x) = n·xⁿ⁻¹

El exponente baja como multiplicador y el nuevo exponente es el anterior menos 1.

Ejemplos: - f(x) = x⁵ → f'(x) = 5x⁴ - f(x) = x² → f'(x) = 2x - f(x) = x → f'(x) = 1 - f(x) = x⁰ = 1 → f'(x) = 0 (caso constante) - f(x) = x^(−2) → f'(x) = −2x^(−3) = −2/x³ - f(x) = √x = x^(1/2) → f'(x) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x)

La regla de la potencia funciona para cualquier exponente real: entero, fraccionario o negativo.

Regla 3 — Múltiplo constante

Si f(x) = c·g(x)  →  f'(x) = c·g'(x)

Una constante que multiplica "pasa" a través de la derivada.

Ejemplo: f(x) = 5x³ → f'(x) = 5·3x² = 15x².

Regla 4 — Suma y diferencia

[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)

La derivada de una suma (o diferencia) es la suma (o diferencia) de las derivadas. Se puede derivar término a término.

Ejemplo:

h(x) = 3x⁴ − 2x² + 7x − 1
h'(x) = 12x³ − 4x + 7

Regla 5 — Regla del producto

Cuando dos funciones se multiplican, no se deriva cada una por separado. La regla es:

[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo.

Ejemplo: h(x) = x²·sen(x)

f(x) = x²   →   f'(x) = 2x
g(x) = sen(x)   →   g'(x) = cos(x)
h'(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x)

Error frecuente

Muchos estudiantes creen que (f·g)' = f'·g'. Eso es incorrecto. Compruébalo con f = x, g = x: (x·x)' = (x²)' = 2x, pero f'·g' = 1·1 = 1 ≠ 2x.

Regla 6 — Regla del cociente

[f(x)/g(x)]' = [f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)] / [g(x)]²

Derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo entre el denominador al cuadrado.

Ejemplo: h(x) = x²/(x + 1)

f(x) = x²   →   f'(x) = 2x
g(x) = x+1   →   g'(x) = 1
h'(x) = [2x(x+1) − x²·1] / (x+1)²
      = [2x² + 2x − x²] / (x+1)²
      = (x² + 2x) / (x+1)²

Truco mnemotécnico

Para la regla del cociente: "derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo entre abajo al cuadrado". En inglés se llama "low dee-high minus high dee-low over low squared".

Tabla resumen de reglas básicas

Ejercicios resueltos paso a paso

Ejercicio 1 — Suma de potencias

f(x) = 4x³ − 3x² + 2x − 5
f'(x) = 12x² − 6x + 2

Ejercicio 2 — Producto

h(x) = (x² + 1)(x³ − 2x)
h'(x) = 2x(x³ − 2x) + (x² + 1)(3x² − 2)
      = 2x⁴ − 4x² + 3x⁴ − 2x² + 3x² − 2
      = 5x⁴ − 3x² − 2

Ejercicio 3 — Cociente

h(x) = (3x − 1) / x²
h'(x) = [3·x² − (3x−1)·2x] / x⁴
      = [3x² − 6x² + 2x] / x⁴
      = (−3x² + 2x) / x⁴
      = (−3x + 2) / x³

Orden de aplicación de las reglas

Muchas funciones requieren combinar varias reglas. Un buen orden de trabajo:

1. Identifica la estructura principal (suma, producto, cociente).
2. Aplica la regla correspondiente.
3. Deriva cada parte usando la regla de la potencia u otras reglas básicas.
4. Simplifica el resultado.

Con práctica, este proceso se vuelve automático. La clave es no intentar derivar todo de una vez, sino ir capa por capa.

Errores más comunes

• Aplicar (f·g)' = f'·g' (incorrecto — usar regla del producto).
• Olvidar el signo negativo en la regla del cociente.
• No bajar el exponente como multiplicador en la regla de la potencia.
• Derivar la constante como si fuera una variable.