Regla de la cadena
La regla más poderosa de la derivación
Si tuvieras que elegir una sola regla de derivación como la más importante, muchos matemáticos elegirían la regla de la cadena. Es la que permite derivar funciones compuestas, es decir, funciones "dentro de" otras funciones. Sin ella, sería imposible derivar cosas como sen(x²), e^(3x), o ln(cos(x)).
¿Qué es una función compuesta?
Una función compuesta es cuando aplicas una función y luego otra. Si f(u) = u³ y u = g(x) = 2x + 1, entonces la composición es:
h(x) = f(g(x)) = (2x + 1)³
Para identificar funciones compuestas, busca la "capa exterior" y la "capa interior":
- h(x) = sen(x²) → exterior: sen(□), interior: x²
- h(x) = e^(5x − 1) → exterior: e^(□), interior: 5x − 1
- h(x) = √(x² + 1) → exterior: √(□), interior: x² + 1
La regla de la cadena
Si h(x) = f(g(x)), entonces:
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
En palabras: derivada de la función exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada de la función interior.
Con notación de Leibniz, si y = f(u) y u = g(x):
dy/dx = (dy/du) · (du/dx)
Esta forma muestra por qué se llama "de la cadena": los términos se encadenan como eslabones.
Ejemplos paso a paso
Ejemplo 1 — Potencia de función
h(x) = (3x² − 1)⁵
Exterior: u⁵ → f'(u) = 5u⁴
Interior: 3x² − 1 → g'(x) = 6x
h'(x) = 5(3x² − 1)⁴ · 6x = 30x(3x² − 1)⁴
Ejemplo 2 — Función trigonométrica
h(x) = sen(4x + π)
Exterior: sen(u) → f'(u) = cos(u)
Interior: 4x + π → g'(x) = 4
h'(x) = cos(4x + π) · 4 = 4cos(4x + π)
Ejemplo 3 — Exponencial
h(x) = e^(x² − 3x)
Exterior: eᵘ → f'(u) = eᵘ
Interior: x² − 3x → g'(x) = 2x − 3
h'(x) = e^(x² − 3x) · (2x − 3)
Ejemplo 4 — Raíz cuadrada
h(x) = √(5x + 2) = (5x + 2)^(1/2)
Exterior: u^(1/2) → f'(u) = (1/2)u^(−1/2)
Interior: 5x + 2 → g'(x) = 5
h'(x) = (1/2)(5x + 2)^(−1/2) · 5 = 5/[2√(5x + 2)]
Cadenas de más de dos funciones
La regla se extiende a composiciones múltiples:
Si h(x) = f(g(k(x))):
h'(x) = f'(g(k(x))) · g'(k(x)) · k'(x)
Ejemplo: h(x) = sen²(3x) = [sen(3x)]²
Capa 1 (exterior): u² → 2u
Capa 2: sen(v) → cos(v)
Capa 3 (interior): 3x → 3
h'(x) = 2·sen(3x) · cos(3x) · 3 = 6·sen(3x)·cos(3x) = 3·sen(6x)
La regla de la cadena en notación de Leibniz
Un ejemplo didáctico: si y = u³ y u = 5x + 2:
dy/du = 3u²
du/dx = 5
dy/dx = 3u² · 5 = 15u² = 15(5x + 2)²
Esta notación muestra que las "du" se "cancelan", aunque formalmente hay que tener cuidado con esa interpretación.
Combinar la regla de la cadena con producto y cociente
Cadena + Producto
h(x) = x²·sen(x³)
= x²·[sen aplicado a x³]
h'(x) = 2x·sen(x³) + x²·cos(x³)·3x²
= 2x·sen(x³) + 3x⁴·cos(x³)
Cadena + Cociente
h(x) = e^(2x) / (x² + 1)
N' = 2e^(2x), D = x² + 1, D' = 2x
h'(x) = [2e^(2x)(x² + 1) − e^(2x)·2x] / (x² + 1)²
= 2e^(2x)(x² − x + 1) / (x² + 1)²
Errores frecuentes
- Olvidar multiplicar por la derivada de la función interior (el error más común).
- Derivar la función exterior evaluada en x en lugar de en g(x).
- No identificar correctamente cuál es la capa exterior y cuál la interior.
Truco: siempre pregúntate: "¿Qué se hace último?" Eso es la función exterior.
Aplicaciones importantes
- Física: derivar funciones de posición con argumentos no lineales en t.
- Termodinámica: cambio de variables en relaciones entre magnitudes.
- Probabilidad: densidades de distribuciones transformadas.
- Optimización: funciones objetivo compuestas.
Resumen
h(x) = f(g(x))
h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
↑ ↑
Derivada exterior Derivada interior
evaluada en g(x)
La regla de la cadena es el puente entre las funciones simples que ya sabes derivar y las funciones complejas que aparecen en la práctica.