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Razones de cambio relacionadas

Razones de cambio relacionadas

Cuando dos cantidades cambian juntas

Las razones de cambio relacionadas son problemas donde dos o más variables cambian con el tiempo y están conectadas por una ecuación geométrica o física. El objetivo es encontrar la tasa de cambio de una variable cuando conocemos la de otra.

Estrategia de resolución

  1. Identificar todas las variables que cambian con el tiempo.
  2. Escribir una ecuación que las relacione (geométrica, física, etc.).
  3. Derivar implícitamente ambos lados respecto al tiempo t.
  4. Sustituir los valores conocidos y despejar la incógnita.

Problema 1 — La escalera deslizante

Enunciado: Una escalera de 5 m apoyada en una pared se desliza hacia abajo. El extremo inferior se aleja de la pared a 1 m/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior cuando está a 3 m del suelo?

Variables: x = distancia del pie al muro, y = altura del extremo superior.

Ecuación: x² + y² = 25 (Pitágoras).

Derivando respecto a t:

2x·(dx/dt) + 2y·(dy/dt) = 0

Datos en el instante: y = 3 → x = √(25−9) = 4. dx/dt = 1 m/s.

2(4)(1) + 2(3)(dy/dt) = 0
8 + 6·(dy/dt) = 0
dy/dt = −4/3 m/s

El extremo superior baja a 4/3 m/s ≈ 1.33 m/s.

Problema 2 — Globo que se infla

Enunciado: Un globo esférico se infla a razón de 10 cm³/s. ¿A qué velocidad aumenta el radio cuando este mide 5 cm?

Ecuación: V = (4/3)πr³.

Derivando:

dV/dt = 4πr²·(dr/dt)
10 = 4π(25)·(dr/dt)
dr/dt = 10/(100π) = 1/(10π) ≈ 0.032 cm/s

Problema 3 — Sombra que se alarga

Enunciado: Un farol de 6 m de altura ilumina a una persona de 1.8 m que camina alejándose del poste a 1.5 m/s. ¿A qué velocidad aumenta la longitud de su sombra?

Sea x la distancia de la persona al poste y s la longitud de la sombra.

Por semejanza de triángulos:

6/(x + s) = 1.8/s
6s = 1.8(x + s)
6s = 1.8x + 1.8s
4.2s = 1.8x
s = (3/7)x

Derivando:

ds/dt = (3/7)·dx/dt = (3/7)·1.5 = 9/14 ≈ 0.64 m/s

La sombra crece a 9/14 m/s, independientemente de la posición.

Problema 4 — Agua en un cono invertido

Enunciado: Un depósito cónico invertido tiene radio 3 m y altura 6 m. El agua entra a 2 m³/min. ¿A qué velocidad sube el nivel cuando el agua tiene 2 m de altura?

Por semejanza: r/h = 3/6 = 1/2 → r = h/2.

V = (1/3)πr²h = (1/3)π(h/2)²h = πh³/12
dV/dt = (πh²/4)·(dh/dt)
2 = π(4)/4·(dh/dt)
dh/dt = 2/π ≈ 0.637 m/min

Errores comunes

  • Sustituir valores numéricos antes de derivar (error grave). Siempre derivar primero, luego sustituir.
  • Olvidar que las unidades de dV/dt, dr/dt, etc. son unidades/tiempo.
  • Confundir el valor de la variable con su tasa de cambio.

Resumen del método

Ecuación geométrica/física → Derivar respecto a t (implícitamente) 
→ Sustituir valores en el instante dado → Despejar la tasa buscada
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