Raíces de un Polinomio

Introducción

Las raíces de un polinomio son los valores que lo hacen igual a cero. Son fundamentales para resolver ecuaciones y entender gráficas.

¿Qué es una Raíz?

Definición: a es raíz de P(x) si P(a) = 0

Equivalencias:

• a es raíz ↔ P(a) = 0
• a es raíz ↔ (x - a) es factor
• a es raíz ↔ x = a es solución

Ejemplo #1

x = 3 es raíz de P(x) = x² - 5x + 6 ``` P(3) = 9 - 15 + 6 = 0 ✓ ```

Número de Raíces

Teorema Fundamental del Álgebra: Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces (contando multiplicidad) en el conjunto de números complejos.

Para números reales:

• Grado 1: 1 raíz
• Grado 2: 0, 1 o 2 raíces reales
• Grado 3: 1, 2 o 3 raíces reales

Ejemplos

``` x - 5 = 0 → 1 raíz: x = 5 x² - 4 = 0 → 2 raíces: x = 2, x = -2 x² + 1 = 0 → 0 raíces reales x³ - x = 0 → 3 raíces: x = 0, x = 1, x = -1 ```

Multiplicidad de una Raíz

Multiplicidad: Número de veces que aparece una raíz.

Ejemplo: P(x) = (x - 2)³(x + 1)

``` x = 2 tiene multiplicidad 3 x = -1 tiene multiplicidad 1 ```

Raíces Simples y Múltiples

- Raíz simple: multiplicidad 1

• Raíz doble: multiplicidad 2
• Raíz triple: multiplicidad 3

Métodos para Encontrar Raíces

1. Tanteo (Divisores del Término Independiente)

Para P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Paso 1: Divisores de 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Paso 2: Probar cada uno

``` P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓ (raíz) P(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 ✓ (raíz) P(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 ✓ (raíz)

Raíces: 1, 2, 3 ```

2. Factorización

Ejemplo: x³ - 4x = 0

``` x(x² - 4) = 0 x(x + 2)(x - 2) = 0

Raíces: x = 0, x = -2, x = 2 ```

3. Fórmula Cuadrática (Grado 2)

Para ax² + bx + c = 0:

``` x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ```

Ejemplo: x² - 5x + 6 = 0

``` x = (5 ± √(25 - 24)) / 2 x = (5 ± 1) / 2 x = 3 o x = 2 ```

Relación entre Raíces y Coeficientes

Para P(x) = x² + bx + c con raíces r₁ y r₂:

Suma de raíces: r₁ + r₂ = -b Producto de raíces: r₁ · r₂ = c

Ejemplo: x² - 5x + 6

``` Suma: r₁ + r₂ = 5 Producto: r₁ · r₂ = 6

Raíces: 2 y 3 (2+3=5, 2×3=6) ```

Raíces Racionales

Teorema de raíces racionales: Si p/q es raíz racional de aₙxⁿ + ... + a₀, entonces:

• p divide a a₀
• q divide a aₙ

Ejemplo: 2x³ - 5x² + x + 2 = 0

``` Posibles raíces: ±1, ±2, ±1/2

Probamos: P(2) = 16 - 20 + 2 + 2 = 0 ✓ P(-1/2) = -1/4 - 5/4 - 1/2 + 2 = 0 ✓ ```

Gráfica y Raíces

Las raíces son los puntos donde la gráfica cruza el eje x.

``` f(x) = x² - 4

Raíces: x = 2, x = -2 Gráfica cruza eje x en (2,0) y (-2,0) ```

Ejercicios

Nivel Básico: 1. Verificar si x = 2 es raíz de x² - 3x + 2 2. Encontrar raíces de x² - 9 = 0

Nivel Intermedio: 3. Hallar raíces de x³ - x = 0 4. Raíces de x² - 6x + 9 = 0 (multiplicidad)

Nivel Avanzado: 5. Raíces de 2x³ - x² - 2x + 1 = 0

Soluciones

Conclusión

Las raíces son esenciales para entender polinomios. Saber encontrarlas y relacionarlas con factores es clave en álgebra.

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Palabras clave: raíces de polinomios, ceros de función, resolver ecuaciones polinomiales, multiplicidad