Producto Vectorial
Introducción
El producto vectorial (también llamado producto cruz) es otra operación fundamental entre vectores, pero a diferencia del producto escalar, el resultado es otro vector. Este nuevo vector es perpendicular a los dos originales, lo que lo hace invaluable en física para calcular torques, momentos magnéticos y en geometría para encontrar vectores normales a superficies.
Definición del Producto Vectorial
El producto vectorial de dos vectores u y v en ℝ³ produce un vector u × v que:
- Es perpendicular tanto a u como a v
- Tiene magnitud |u × v| = |u| · |v| · sin(θ)
- Tiene dirección determinada por la regla de la mano derecha
Fórmula por Componentes
Si u = (u₁, u₂, u₃) y v = (v₁, v₂, v₃):
u × v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)
Forma de Determinante
El producto vectorial puede calcularse como el determinante simbólico:
u × v = | i j k |
| u₁ u₂ u₃ |
| v₁ v₂ v₃ |
Donde i, j, k son los vectores unitarios de los ejes x, y, z.
Ejemplo de Cálculo
Sean u = (2, 3, 4) y v = (1, -1, 2):
u × v = (3·2 - 4·(-1), 4·1 - 2·2, 2·(-1) - 3·1) u × v = (6 + 4, 4 - 4, -2 - 3) u × v = (10, 0, -5)
Verificación (perpendicular a u):
u · (u × v) = 2(10) + 3(0) + 4(-5) = 20 + 0 - 20 = 0 ✓
Propiedades del Producto Vectorial
Anticonmutativa
u × v = -(v × u)
Cambiar el orden invierte el sentido del vector resultado.
Distributiva
u × (v + w) = u × v + u × w
Asociativa con Escalares
(αu) × v = α(u × v) = u × (αv)
Producto Consigo Mismo
u × u = 0 (vector cero)
Un vector es paralelo a sí mismo.
NO es Asociativa
u × (v × w) ≠ (u × v) × w en general
Interpretación Geométrica: Área del Paralelogramo
La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores:
|u × v| = |u| · |v| · sin(θ) = Área del paralelogramo
Por lo tanto, el área del triángulo formado por u y v es:
Área del triángulo = |u × v| / 2
Vectores Paralelos
Dos vectores son paralelos si y solo si su producto vectorial es el vector cero:
u ∥ v ⟺ u × v = 0
Productos Especiales con Vectores Base
- i × j = k
- j × k = i
- k × i = j
- j × i = -k
- k × j = -i
- i × k = -j
Aplicaciones del Producto Vectorial
En Física: Torque
El torque (momento de fuerza) es:
τ = r × F
Donde r es el vector posición y F la fuerza.
En Física: Fuerza Magnética
La fuerza sobre una carga en movimiento en un campo magnético:
F = qv × B
En Geometría: Vector Normal
Para encontrar el vector normal a un plano que contiene los vectores u y v:
n = u × v
Triple Producto Escalar
El triple producto escalar u · (v × w) tiene interpretación geométrica: es igual al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.
Volumen = |u · (v × w)|