Introducción
¿De cuántas formas puedes
ordenar las letras de tu nombre? ¿Cuántas combinaciones de tres números puedes
formar con los dígitos del 1 al 9? La combinatoria responde estas
preguntas sobre conteo de posibilidades.
Principio Fundamental del Conteo
Si una tarea se puede realizar
de m formas, y otra independiente de n formas, entonces ambas tareas juntas se
pueden realizar de m × n formas.
Ejemplo: Si tienes 3
camisas y 4 pantalones, puedes crear 3 × 4 = 12 atuendos diferentes.
¿Qué es una Permutación?
Una permutación es un
ordenamiento de todos los elementos de un conjunto. El orden importa.
Pn = n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
Ejemplo de Permutación
¿De cuántas formas pueden
sentarse 5 personas en una fila de 5 sillas?
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 120 formas
Permutaciones con Repetición
Si algunos elementos se
repiten, la fórmula se ajusta:
P = n! / (n1! × n2! × ... × nk!)
Ejemplo: Permutaciones
de "MAMÁ": 4!/(2!×2!) = 24/4 = 6
¿Qué es una Variación?
Una variación es una
selección ordenada de r elementos de un conjunto de n elementos. Es como una
permutación parcial.
V(n,r) = n! / (n-r)! = n × (n-1) × ... × (n-r+1)
Ejemplo de Variación
¿De cuántas formas pueden 8
atletas ganar oro, plata y bronce (3 medallas)?
V(8,3) = 8!/(8-3)! = 8×7×6 =
336 formas
Variaciones con Repetición
Cuando se permite repetir
elementos:
VR(n,r) = n^r
Ejemplo: Contraseñas de
4 dígitos: VR(10,4) = 10^4 = 10,000
Diferencia entre Permutación y Variación
Permutación: Ordenar
TODOS los elementos del conjunto.
Variación: Seleccionar y
ordenar ALGUNOS elementos.
Conclusión
Las permutaciones y variaciones
son herramientas fundamentales del conteo cuando el orden importa. La clave
está en identificar si estamos ordenando todos los elementos (permutación) o
solo algunos (variación), y si se permite la repetición.