Introducción
El vértice es el punto clave de una parábola: máximo o mínimo.
El Vértice V(h, k)
Cálculo desde f(x) = ax² + bx + c
h = -b/(2a) k = f(h)
Ejemplo: f(x) = 2x² - 8x + 10
h = -(-8)/(2×2) = 2
k = 2(4) - 8(2) + 10 = 2
Vértice: (2, 2)
Forma Canónica
f(x) = a(x - h)² + k
Vértice directamente visible.
Conversión de Formas
De General a Canónica (Completar Cuadrado)
Ejemplo: f(x) = x² + 6x + 5
f(x) = (x² + 6x + 9) - 9 + 5
f(x) = (x + 3)² - 4
Vértice: (-3, -4)
Significado del Vértice
Si a > 0 (∪)
Vértice = Mínimo - Valor mínimo de f(x) es k - Ocurre en x = h
Si a < 0 (∩)
Vértice = Máximo - Valor máximo de f(x) es k - Ocurre en x = h
Problemas de Optimización
Problema #1: Rectángulo Perímetro 100m. ¿Dimensiones para área máxima?
2x + 2y = 100 → y = 50 - x
A(x) = x(50 - x) = -x² + 50x
h = -50/(-2) = 25
Dimensiones: 25 × 25 (cuadrado)
A_max = 625 m²
Problema #2: Ingresos I(x) = -2x² + 80x - 200. ¿Máximo ingreso?
h = -80/(-4) = 20 unidades
I(20) = -800 + 1600 - 200 = 600
Ingreso máximo: $600
Ejercicios
- f(x) = -x² + 4x - 1, hallar vértice
- Convertir f(x) = x² - 8x + 20 a forma canónica
- Parábola vértice (3, -2), a=1, escribir ecuación
Soluciones: 1) (2,3) 2) (x-4)²+4 3) f(x)=(x-3)²-2
Palabras clave: vértice parábola, forma canónica, optimización cuadrática, completar cuadrado