Vamos a repasar y completar las reglas que rigen para las inecuaciones. Es esencial dominar estas reglas porque las inecuaciones son una de las principales herramientas del análisis, la rama de las matemáticas dedicada al estudio de las funciones.
I. Definir distintos tipos de intervalo
Sean a y b dos números reales tales que
.
El intervalo cerrado
es el conjunto de los números reales x tales que
.
El intervalo abierto
es el conjunto de los números reales x tales que a < x < b.
El intervalo abierto
es el conjunto de los números reales x tales que x < a.
El intervalo semiabierto (o semicerrado)
es el conjunto de los números reales x tales que
.
También definimos los intervalos
,
,
,
.
Podemos escribir el conjunto R como
.
La intersección de dos intervalos I y J es el intervalo formado por los números que pertenecen a la vez a I y a J.
La unión de dos intervalos I y J es el conjunto de números que pertenecen a I o a J (es decir, aquellos números que pertenecen a I, o a J, o a ambos a la vez). Si I y J tienen al menos un elemento en común, entonces
es un intervalo.
Ejemplo: si
y
, entonces:
y
.
II. Comparar números
Decir que a es menor o igual que b significa que la diferencia b - a es positiva o cero. Lo escribimos así:
es equivalente a
.
Así pues, para comparar dos números hemos de fijarnos en el signo de su diferencia.
Para comparar:
—dos números a y b, estudiamos el signo de su diferencia;
—dos fracciones, las reducimos a común denominador y comparamos los numeradores como acabamos de ver;
—dos raíces cuadradas, hemos de comparar sus valores al elevarlos al cuadrado.
Algunas reglas fundamentales:
Dos números tienen el mismo signo si y solamente si su producto es positivo.
—si a > 1, entonces
.
—si 0 < a < 1, entonces
.
Para tres números reales cualesquiera a, b y c, si
y
, entonces
.
III. Cómo operar en las inecuaciones
Tenemos que saber cómo “transformar” una inecuación mediante operaciones elementales.
Sean a, b, c y d cuatro números reales cualesquiera.
—Al sumar o restar un número a ambos lados de una inecuación no se modifica el signo de la inecuación. Si
, entonces
.
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número positivo, no se modifica el signo de la inecuación. Si
y k > 0, entonces
.
—Al multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo, cambia el signo de la inecuación. Si
y k < 0, entonces
.
—Si se suman los miembros homólogos de dos inecuaciones del mismo tipo, se obtiene otra inecuación del mismo tipo. Si
y
, entonces
.
—Si los números de dos inecuaciones son positivos, al multiplicar los miembros homólogos de ambas se obtiene una tercera inecuación del mismo tipo. Si
y
, entonces
.
IV. Calcular el valor absoluto de un número real
Sea x un número real. Si lo representamos sobre la recta de los números reales (recta real) nos dará un punto que llamamos M.
Se define el valor absoluto de x como la distancia entre los puntos O y M, y se escribe así:
.
Conclusiones:
Si x es un número positivo, su valor absoluto es él mismo:
.
Si x es un número negativo, su valor absoluto es su opuesto:
.
Si x e y son dos números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes propiedades:
—para cualquier número real
,
es un número positivo.
implica que
.
—
.
—
implica que
o que
.
—
y, para cualquier valor
,
.
—
, que se conoce como “inecuación triangular”.
V. Cómo operar con valores absolutos
Sean a y b dos números reales correspondientes a los valores x de dos puntos A y B representados sobre la recta real. La distancia entre a y b es la distancia entre los puntos A y B. Esto se escribe así:
.
Que sobre la recta real sería:
.
Resulta útil expresar o representar valores absolutos en términos de distancias para resolver ecuaciones e inecuaciones que contienen valores absolutos.
Por ejemplo, sea a un número real y r un número real positivo.
La ecuación
se puede expresar:
—en términos de distancia como
;
—en un esquema:
—usando las reglas de análisis
o
.
La inecuación
se puede expresar:
—en términos de distancia como
;
—en un esquema:
—usando las reglas de análisis
, que también se puede escribir así:
.
VI. Resumen
—Para comparar dos números a y b, estudiamos el signo de su diferencia.
—El valor absoluto de un número positivo es él mismo. El valor absoluto de un número negativo es su opuesto.
—La distancia entre dos números reales a y b es igual al valor absoluto de su diferencia, lo que se escribe así:
.
Sistemas de numeración
Escritura y propiedades de los números
Ordenar números y valores absolutos
Ordenar números y utilizar valores absolutos son habilidades importantes en matemáticas que nos permiten organizar conjuntos de números y calcular distancias entre valores. A continuación, te mostraré cómo ordenar números y cómo utilizar los valores absolutos:
Ordenar números:
Para ordenar números de menor a mayor (ascendente) o de mayor a menor (descendente), sigue estos pasos:
- Compara los números: Comienza comparando los números de la lista. Si un número es mayor que otro, colócalo a la derecha; si es menor, colócalo a la izquierda.
- Continúa comparando: Continúa comparando cada número con los demás hasta que todos los números estén en su lugar correcto.
Ejemplo de ordenar números:
Supongamos que queremos ordenar los siguientes números de menor a mayor: 7, -3, 12, -5, 0.
Paso 1: Comparamos los números y los ordenamos: -5, -3, 0, 7, 12
Resultado: Los números ordenados de menor a mayor son: -5, -3, 0, 7, 12.
Valores absolutos:
El valor absoluto de un número es su distancia desde el cero en la recta numérica. El valor absoluto de un número siempre es positivo o igual a cero. Se representa con el símbolo de barras verticales ||. Por ejemplo, el valor absoluto de -5 es 5, ya que está a una distancia de 5 unidades del cero.
Ejemplo de uso de valores absolutos:
Si queremos calcular el valor absoluto de -8:
Paso 1: Aplicamos la definición del valor absoluto: ||-8|| = 8.
Resultado: El valor absoluto de -8 es 8.
El valor absoluto es útil para medir distancias, resolver ecuaciones y simplificar expresiones matemáticas.