Operaciones con Números Complejos

Operaciones con Números Complejos

Introducción

Una vez que entendemos qué son los números complejos, el siguiente paso es aprender a operar con ellos. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) son extensiones naturales de las operaciones con reales, siguiendo reglas algebraicas simples. En esta guía aprenderás a realizar cada operación con claridad y eficiencia.

Suma de Números Complejos

Para sumar dos complejos, sumamos las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo

(3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i

Propiedades de la Suma

• Conmutativa: z₁ + z₂ = z₂ + z₁
• Asociativa: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
• Elemento neutro: z + 0 = z
• Inverso aditivo: z + (-z) = 0, donde -z = -a - bi

Resta de Números Complejos

Se restan las partes correspondientes:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Ejemplo

(5 + 3i) - (2 + 7i) = (5 - 2) + (3 - 7)i = 3 - 4i

Multiplicación de Números Complejos

Se multiplica como si fueran binomios, usando la propiedad i² = -1:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

Ejemplo Paso a Paso

Multiplicar (2 + 3i)(4 + 5i):

1. Aplicamos distributiva: 2·4 + 2·5i + 3i·4 + 3i·5i
2. Simplificamos: 8 + 10i + 12i + 15i²
3. Sustituimos i² = -1: 8 + 10i + 12i + 15(-1)
4. Combinamos: 8 - 15 + (10 + 12)i = -7 + 22i

Propiedades de la Multiplicación

• Conmutativa: z₁ · z₂ = z₂ · z₁
• Asociativa: (z₁ · z₂) · z₃ = z₁ · (z₂ · z₃)
• Elemento neutro: z · 1 = z
• Distributiva: z₁ · (z₂ + z₃) = z₁ · z₂ + z₁ · z₃

División de Números Complejos

Para dividir, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

z₁/z₂ = (a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)]/[(c + di)(c - di)]

El denominador se convierte en un real:

(c + di)(c - di) = c² + d²

Fórmula Final

(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + [(bc - ad)/(c² + d²)]i

Ejemplo Paso a Paso

Dividir (3 + 2i)/(1 + i):

1. Conjugado del denominador: 1 - i

2. Multiplicamos arriba y abajo:

   [(3 + 2i)(1 - i)]/[(1 + i)(1 - i)]

3. Numerador: (3 + 2i)(1 - i) = 3 - 3i + 2i - 2i² = 3 - i + 2 = 5 - i

4. Denominador: (1 + i)(1 - i) = 1 - i² = 1 + 1 = 2

5. Resultado: (5 - i)/2 = 5/2 - (1/2)i = 2.5 - 0.5i

Inverso Multiplicativo

El inverso de z = a + bi es:

z⁻¹ = z̄/|z|² = (a - bi)/(a² + b²)

Ejemplo

El inverso de 3 + 4i:

z⁻¹ = (3 - 4i)/(9 + 16) = (3 - 4i)/25 = 3/25 - (4/25)i

Verificación: (3 + 4i)(3/25 - 4i/25) = (9 + 16)/25 = 1 ✓

Potencias de Números Complejos

Para potencias pequeñas, multiplicamos repetidamente:

z² = z · z z³ = z · z · z

Ejemplo

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

(1 + i)³ = (1 + i)² · (1 + i) = 2i(1 + i) = 2i + 2i² = 2i - 2 = -2 + 2i

Raíces Cuadradas de Números Negativos

Ahora podemos calcular raíces de negativos:

√(-9) = √(9 · (-1)) = √9 · √(-1) = 3i

Importante: √(-a) · √(-b) ≠ √(ab) cuando ambos son negativos.

Ejemplo del error:

√(-1) · √(-1) = i · i = i² = -1 Pero √((-1)(-1)) = √1 = 1

Esto muestra que √(-1) · √(-1) ≠ √1.

Ecuaciones Cuadráticas con Discriminante Negativo

Si ax² + bx + c = 0 tiene discriminante Δ = b² - 4ac < 0:

x = (-b ± √Δ)/(2a) = (-b ± i√|Δ|)/(2a)

Ejemplo

Resolver x² + 2x + 5 = 0:

• Δ = 4 - 20 = -16
• x = (-2 ± √(-16))/2 = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i

Las soluciones son x₁ = -1 + 2i y x₂ = -1 - 2i (conjugados entre sí).

Resumen de Fórmulas