Método de Sustitución para Sistemas 2×2: Paso a Paso

Introducción

El método de sustitución es uno de los más intuitivos para resolver sistemas. Consiste en despejar una variable y sustituirla en la otra ecuación.

Fundamento del Método

Idea principal: Si x = algo, puedo reemplazar "x" por "algo" en cualquier ecuación.

Pasos del Método

1. Elegir una ecuación y despejar una variable 2. Sustituir esa expresión en la otra ecuación 3. Resolver la ecuación con una sola incógnita 4. Sustituir el valor encontrado para hallar la otra variable 5. Verificar la solución

Ejemplos Completos

Ejemplo #1: Sistema Básico

Resolver: ``` x + y = 7 ... (1) 2x - y = 2 ... (2) ```

Solución:

``` Paso 1: Despejar y en (1) y = 7 - x

Paso 2: Sustituir en (2) 2x - (7 - x) = 2 2x - 7 + x = 2 3x - 7 = 2 3x = 9 x = 3

Paso 3: Sustituir x = 3 en y = 7 - x y = 7 - 3 = 4

Solución: (3, 4)

Paso 4: Verificar (1): 3 + 4 = 7 ✓ (2): 2(3) - 4 = 2 ✓ ```

Ejemplo #2: Con Coeficientes

Resolver: ``` 3x + 2y = 12 ... (1) x - y = 1 ... (2) ```

Solución:

``` Paso 1: Despejar x en (2) (es la más fácil) x = y + 1

Paso 2: Sustituir en (1) 3(y + 1) + 2y = 12 3y + 3 + 2y = 12 5y = 9 y = 9/5 = 1.8

Paso 3: Sustituir en x = y + 1 x = 1.8 + 1 = 2.8

Solución: (2.8, 1.8)

Verificación: (1): 3(2.8) + 2(1.8) = 8.4 + 3.6 = 12 ✓ (2): 2.8 - 1.8 = 1 ✓ ```

Ejemplo #3: Ambas Variables con Coeficientes

Resolver: ``` 2x + 3y = 8 ... (1) 4x - y = 2 ... (2) ```

Solución:

``` Paso 1: Despejar y en (2) (tiene coeficiente 1) -y = 2 - 4x y = 4x - 2

Paso 2: Sustituir en (1) 2x + 3(4x - 2) = 8 2x + 12x - 6 = 8 14x = 14 x = 1

Paso 3: Sustituir en y = 4x - 2 y = 4(1) - 2 = 2

Solución: (1, 2)

Verificación: (1): 2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8 ✓ (2): 4(1) - 2 = 2 ✓ ```

Consejos Prácticos

¿Qué Variable Despejar?

Prioridad: 1. Variable con coeficiente 1 o -1 2. Variable que aparece sola 3. La que resulte en expresión más simple

¿En Qué Ecuación?

Prioridad: 1. Ecuación más simple 2. Ecuación con menos fracciones 3. Ecuación con coeficientes más pequeños

Problemas Aplicados

Problema #1: Números

"La suma de dos números es 50 y su diferencia es 10. Hallar los números."

Sistema: ``` x + y = 50 ... (1) x - y = 10 ... (2)

Despejar x en (2): x = y + 10

Sustituir en (1): (y + 10) + y = 50 2y = 40 y = 20

x = 20 + 10 = 30

Números: 30 y 20 ```

Problema #2: Precios

"3 cuadernos y 2 lápices cuestan $65. 1 cuaderno y 1 lápiz cuestan $25. ¿Precio de cada uno?"

Sistema: ``` 3x + 2y = 65 ... (1) x + y = 25 ... (2)

Despejar y en (2): y = 25 - x

Sustituir en (1): 3x + 2(25 - x) = 65 3x + 50 - 2x = 65 x = 15

y = 25 - 15 = 10

Cuaderno: $15, Lápiz: $10 ```

Problema #3: Mezclas

"Mezclamos 10 kg total de café: uno a $80/kg y otro a $120/kg. El costo total es $1000. ¿Cuántos kg de cada tipo?"

Sistema: ``` x + y = 10 ... (1) 80x + 120y = 1000 ... (2)

Despejar x en (1): x = 10 - y

Sustituir en (2): 80(10 - y) + 120y = 1000 800 - 80y + 120y = 1000 40y = 200 y = 5

x = 10 - 5 = 5

5 kg de cada tipo ```

Casos Especiales

Sistema sin Solución

``` x + y = 5 x + y = 3

Despejar x: x = 5 - y Sustituir: (5 - y) + y = 3 5 = 3 ✗

INCOMPATIBLE (sin solución) ```

Sistema con Infinitas Soluciones

``` 2x + y = 6 4x + 2y = 12

Despejar y: y = 6 - 2x Sustituir: 4x + 2(6 - 2x) = 12 4x + 12 - 4x = 12 12 = 12 ✓ (siempre verdadero)

INFINITAS SOLUCIONES ```

Ejercicios para Practicar

Nivel Básico: 1. x + y = 10, x - y = 2 2. 2x + y = 8, x = y + 1 3. x + 2y = 7, x = 3

Nivel Intermedio: 4. 3x + y = 11, 2x - y = 4 5. x + 2y = 9, 3x - y = 4 6. 4x + 3y = 18, x - y = 1

Nivel Avanzado: 7. 2x + 3y = 13, 4x - y = 5 8. Dos números suman 80, uno es el triple del otro 9. 5 manzanas y 3 naranjas cuestan $100. 2 manzanas y 1 naranja cuestan $35

Soluciones

1. (6, 4) 2. (3, 2) 3. (3, 2) 4. (3, 2) 5. (3, 3) 6. (3, 2) 7. (2, 3) 8. (20, 60) 9. Manzana $15, Naranja $5

Errores Comunes

Error #1: No Distribuir Correctamente

Error #2: Olvidar Cambiar Signos

Error #3: No Verificar

Conclusión

El método de sustitución es intuitivo y eficaz. Funciona bien cuando una variable está despejada o es fácil de despejar.

Ventajas:

• Intuitivo
• Funciona siempre
• Ideal cuando una variable tiene coeficiente 1

Recuerda: 1. Despejar la variable más fácil 2. Sustituir con cuidado (paréntesis) 3. Resolver paso a paso 4. Verificar siempre

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Palabras clave: método de sustitución, resolver sistemas lineales, sustitución de variables, sistemas de ecuaciones