Máximos y mínimos de una función

Encontrar los puntos más altos y más bajos de una función

Los máximos y mínimos de una función son los puntos donde esta alcanza sus valores más altos o más bajos, ya sea en todo su dominio o en una región particular. Encontrarlos es una de las aplicaciones más prácticas de la derivada, desde diseñar envases con el menor material posible hasta maximizar el beneficio de una empresa.

Tipos de extremos

Máximos y mínimos absolutos (globales)

El máximo absoluto es el valor más alto que toma f en todo su dominio; el mínimo absoluto es el más bajo. No siempre existen (una función creciente en ℝ no tiene máximo).

Máximos y mínimos relativos (locales)

Un máximo relativo en x = a ocurre si f(a) ≥ f(x) para todos los x cercanos a a. Un mínimo relativo si f(a) ≤ f(x) cerca de a.

Condición necesaria: puntos críticos

La derivada da la clave: si f tiene un extremo relativo en x = a y f es derivable en a, entonces f'(a) = 0.

Los puntos donde f'(x) = 0 se llaman puntos críticos (o estacionarios). También son puntos críticos donde f'(x) no existe.

Importante: f'(a) = 0 es condición necesaria pero no suficiente. El punto puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión con tangente horizontal.

Criterio de la primera derivada

Para clasificar un punto crítico x = c, analiza el signo de f'(x) a cada lado:

La función pasa de creciente a decreciente → máximo. De decreciente a creciente → mínimo.

Criterio de la segunda derivada

Si f'(c) = 0, también podemos usar f''(c):

f''(c) < 0  →  Máximo relativo (curva cóncava hacia abajo)
f''(c) > 0  →  Mínimo relativo (curva cóncava hacia arriba)
f''(c) = 0  →  Inconcluyente (usar criterio de la primera derivada)

Procedimiento completo para encontrar extremos

1. Calcular f'(x).
2. Resolver f'(x) = 0 para encontrar los puntos críticos.
3. Identificar puntos donde f'(x) no existe (si los hay).
4. Aplicar el criterio de la primera o segunda derivada para clasificar.
5. Calcular f(c) para cada punto crítico.
6. (Si hay intervalo cerrado) Evaluar también en los extremos.

Ejemplo resuelto completo

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5

Paso 1 — Derivada:

f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1)

Paso 2 — Puntos críticos: f'(x) = 0 → x = 3 y x = −1.

Paso 3 — Criterio de la segunda derivada:

f''(x) = 6x − 6
f''(−1) = −12 < 0  →  Máximo relativo en x = −1
f''(3) = 12 > 0    →  Mínimo relativo en x = 3

Paso 4 — Valores:

f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10   (máximo relativo)
f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22  (mínimo relativo)

Extremos absolutos en intervalos cerrados: Teorema de Weierstrass

Si f es continua en [a, b], entonces tiene máximo y mínimo absolutos. Para encontrarlos:

1. Hallar todos los puntos críticos en (a, b).
2. Evaluar f en los puntos críticos y en a y b.
3. El mayor valor es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto.

Ejemplo: f(x) = x³ − 3x en [−2, 2]

f'(x) = 3x² − 3 = 0 → x = ±1
f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(2) = 2
Máximo absoluto: 2 (en x = −1 y x = 2)
Mínimo absoluto: −2 (en x = −2 y x = 1)

Aplicaciones prácticas

• Ingeniería: minimizar material en el diseño de estructuras.
• Economía: maximizar beneficio o minimizar costos.
• Medicina: dosis óptima de un medicamento.
• Física: puntos de equilibrio estable (mínimo de energía potencial).