Límites laterales y existencia del límite

No siempre se llega desde los dos lados igual

Cuando hablamos del límite de f(x) cuando x → a, implícitamente asumimos que x puede acercarse a a desde cualquier dirección: por la izquierda (valores menores que a) y por la derecha (valores mayores). Pero hay funciones donde el comportamiento es completamente diferente según de qué lado te aproximes. Para estos casos necesitamos los límites laterales.

Definición de límites laterales

Límite por la izquierda (lateral izquierdo)

lim[x→a⁻] f(x) = L⁻

x se acerca a a tomando valores menores que a (x < a).

Límite por la derecha (lateral derecho)

lim[x→a⁺] f(x) = L⁺

x se acerca a a tomando valores mayores que a (x > a).

Condición de existencia del límite

El límite (bilateral) lim[x→a] f(x) existe si y solo si ambos límites laterales existen y son iguales:

lim[x→a] f(x) = L  ⟺  lim[x→a⁻] f(x) = lim[x→a⁺] f(x) = L

Si los límites laterales existen pero son diferentes (L⁻ ≠ L⁺), el límite bilateral no existe.

Ejemplo 1 — Función con salto

Considera la función definida a trozos:

f(x) = { x + 1    si x < 2
        { x²       si x ≥ 2

Calculamos los límites laterales en x = 2:

lim[x→2⁻] f(x) = lim[x→2⁻] (x+1) = 3
lim[x→2⁺] f(x) = lim[x→2⁺] x² = 4

Como 3 ≠ 4, el límite en x = 2 no existe. La función tiene una "discontinuidad de salto" en ese punto.

Ejemplo 2 — Función valor absoluto

f(x) = |x − 3| / (x − 3)

Para x > 3: |x−3| = x−3, así f(x) = 1. Para x < 3: |x−3| = −(x−3), así f(x) = −1.

lim[x→3⁺] f(x) = 1
lim[x→3⁻] f(x) = −1

Los límites laterales existen pero son distintos → el límite bilateral no existe.

Ejemplo 3 — Límite que sí existe

f(x) = { 2x + 1    si x < 1
        { 4 − x     si x ≥ 1

En x = 1:

lim[x→1⁻] (2x+1) = 3
lim[x→1⁺] (4−x) = 3

Ambos son 3. El límite bilateral existe: lim[x→1] f(x) = 3.

Además, f(1) = 4 − 1 = 3. Como el límite coincide con f(1), la función es continua en x = 1.

Límites infinitos: cuando la función "explota"

En algunos puntos, f(x) crece sin límite. En ese caso:

lim[x→a⁺] f(x) = +∞   o   −∞

Ejemplo: f(x) = 1/x en x = 0.

lim[x→0⁺] 1/x = +∞    (x positivo, 1/x crece positivamente)
lim[x→0⁻] 1/x = −∞    (x negativo, 1/x decrece negativamente)

Ambos límites son infinito pero con signos opuestos → el límite bilateral no existe, aunque sí existe cada lateral. La recta x = 0 es una asíntota vertical de f(x) = 1/x.

Función escalón de Heaviside

La función de Heaviside se define como:

H(x) = { 0   si x < 0
        { 1   si x ≥ 0

En x = 0:

lim[x→0⁻] H(x) = 0
lim[x→0⁺] H(x) = 1

El límite no existe. Esta función modela el "encendido" instantáneo en circuitos eléctricos y tiene enorme importancia en ingeniería.

Aplicación: definición rigurosa de continuidad

Una función f es continua en x = a si se cumplen tres condiciones: 1. f(a) está definida. 2. lim[x→a] f(x) existe (es decir, ambos laterales son iguales). 3. lim[x→a] f(x) = f(a).

Si falla alguna, hay una discontinuidad. El análisis de límites laterales es la herramienta para diagnosticar qué tipo de discontinuidad tiene una función.

Resumen