Límites indeterminados y técnicas de resolución

Cuando el límite dice "no sé": las formas indeterminadas

Una forma indeterminada aparece cuando la sustitución directa produce una expresión que no tiene valor matemático único. Las principales son 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0⁰ y ∞⁰. Llamarlas "indeterminadas" no significa que el límite no exista, sino que necesitamos más trabajo para encontrarlo.

Técnica 1 — Factorización y cancelación (para 0/0)

Ya la vimos en el temario de sustitución directa, pero la repasamos como técnica principal para 0/0:

lim[x→2] (x³ − 8) / (x² − 4)
= lim (x−2)(x²+2x+4) / [(x−2)(x+2)]
= lim (x²+2x+4) / (x+2)
= (4+4+4) / 4 = 12/4 = 3

Técnica 2 — Racionalización (para 0/0 con raíces)

Cuando aparece una raíz cuadrada y tenemos 0/0, multiplicamos por el conjugado:

lim[x→4] (√x − 2) / (x − 4)
Multiplicar por (√x + 2)/(√x + 2):
= lim (x − 4) / [(x−4)(√x+2)]
= lim 1/(√x + 2)
= 1/4

Técnica 3 — División por la potencia dominante (para ∞/∞)

lim[x→∞] (3x² − x + 2) / (5x² + 7x)
Dividir por x²:
= lim (3 − 1/x + 2/x²) / (5 + 7/x)
= 3/5

Técnica 4 — Regla de L'Hôpital

Para las formas 0/0 y ∞/∞, la regla de L'Hôpital establece que si el límite de f/g es 0/0 o ∞/∞, entonces:

lim[x→a] f(x)/g(x) = lim[x→a] f'(x)/g'(x)

Es decir, derivar numerador y denominador por separado y volver a calcular el límite.

Ejemplo 1

lim[x→0] sen(x)/x    (forma 0/0)
= lim[x→0] cos(x)/1
= cos(0) = 1

Este es uno de los límites más importantes del cálculo.

Ejemplo 2

lim[x→∞] x²/eˣ    (forma ∞/∞)
= lim[x→∞] 2x/eˣ    (aún ∞/∞, aplicar otra vez)
= lim[x→∞] 2/eˣ
= 0

Condiciones de uso

L'Hôpital solo aplica cuando: - La forma es 0/0 o ∞/∞. - f y g son derivables cerca de a. - El límite de f'/g' existe (o es ±∞).

Técnica 5 — Transformación algebraica para 0·∞ y ∞−∞

Para 0·∞: convertir el producto en cociente para obtener 0/0 o ∞/∞.

lim[x→0⁺] x·ln(x)    (forma 0·∞)
= lim[x→0⁺] ln(x) / (1/x)    (forma ∞/∞)
L'Hôpital: = lim[x→0⁺] (1/x) / (−1/x²)
= lim[x→0⁺] (−x)
= 0

Para ∞−∞: racionalizar o buscar factor común.

lim[x→∞] (√(x² + x) − x)
Multiplicar por (√(x²+x)+x)/(√(x²+x)+x):
= lim x / (√(x²+x) + x)
Dividir por x:
= lim 1 / (√(1+1/x) + 1)
= 1/2

Técnica 6 — Límites de la forma 1^∞, 0⁰, ∞⁰

Para estas formas, se usa la identidad f(x)^g(x) = e^[g(x)·ln(f(x))]:

lim[x→∞] (1 + 1/x)ˣ
= e^[lim x·ln(1+1/x)]    (forma ∞·0)
= e^[lim ln(1+1/x)/(1/x)]    (forma 0/0)
L'Hôpital: = e^[lim (−1/x²)/(1+1/x) · x² ] = e^1 = e

Este límite define el número e, como ya vimos en el temario de exponenciales.

Tabla resumen de formas indeterminadas y técnicas