Límites de funciones trigonométricas

Los límites trigonométricos fundamentales del cálculo

Existen dos límites trigonométricos que aparecen una y otra vez en el cálculo, en las derivadas, en las series de Taylor y en infinidad de aplicaciones. Entenderlos no es solo un ejercicio técnico: son la base de por qué el seno y el coseno se comportan de la forma en que lo hacen cerca del origen.

Límite fundamental 1: sen(x)/x cuando x → 0

lim[x→0] sen(x)/x = 1

Este límite es la razón por la que la derivada de sen(x) es cos(x). No puede calcularse por sustitución directa (da 0/0), pero puede demostrarse geométricamente usando el teorema del emparedado (squeeze theorem) con áreas de sectores circulares.

Intuición numérica

La aproximación sen(x) ≈ x para ángulos pequeños (en radianes) es directamente este límite.

Límite fundamental 2: (1 − cos x)/x cuando x → 0

lim[x→0] (1 − cos x)/x = 0

Y su versión cuadrática (más útil):

lim[x→0] (1 − cos x)/x² = 1/2

Esta segunda forma aparece al calcular la derivada de cos(x) y en series de Taylor.

Derivación de límites trigonométricos usando los fundamentales

Una vez conocidos los dos límites fundamentales, podemos calcular muchos otros:

Ejemplo 1

lim[x→0] sen(5x)/x
= lim[x→0] 5·sen(5x)/(5x)
= 5·1 = 5

Ejemplo 2

lim[x→0] sen(3x)/sen(7x)
= lim[x→0] [sen(3x)/(3x)] · 3 / {[sen(7x)/(7x)] · 7}
= (1·3)/(1·7) = 3/7

Ejemplo 3

lim[x→0] tan(x)/x
= lim[x→0] [sen(x)/x] · [1/cos(x)]
= 1 · 1/1 = 1

Límites trigonométricos con L'Hôpital

Cuando los métodos directos son más complejos, L'Hôpital resulta eficaz:

lim[x→0] (1 − cos x) / x²
L'Hôpital: = lim sen(x)/(2x)
= (1/2)·lim sen(x)/x = 1/2 ✓

lim[x→π/2] (cos x) / (π/2 − x)
Sustitución u = π/2 − x (cuando x→π/2, u→0):
= lim[u→0] cos(π/2 − u)/u = lim sen(u)/u = 1

Límites en puntos distintos del origen

lim[x→π] sen(x) / (x − π)
Sustituimos u = x − π:
= lim[u→0] sen(u + π) / u
= lim[u→0] (−sen u) / u
= −1

Límites al infinito de funciones trigonométricas

Las funciones sen(x) y cos(x) oscilan entre −1 y 1 para siempre, así que:

lim[x→∞] sen(x)    →  no existe (oscila indefinidamente)
lim[x→∞] cos(x)    →  no existe

Sin embargo:

lim[x→∞] sen(x)/x = 0    (el denominador "aplasta" la oscilación)
lim[x→∞] cos(x)/x² = 0

Para verificar esto se usa el teorema del emparedado: −1/x ≤ sen(x)/x ≤ 1/x, y como ambos extremos → 0, el límite central también → 0.

Tabla de límites trigonométricos frecuentes

Importancia en el cálculo diferencial

El límite lim[x→0] sen(x)/x = 1 es el corazón de la derivación del seno. Sin él, no podemos demostrar que [sen(x)]' = cos(x). Por eso se dice que este límite es la "piedra angular" de la trigonometría diferencial.