Límites al infinito y asíntotas horizontales

¿Qué ocurre cuando x crece sin límite?

Hasta ahora estudiamos qué hace una función cuando x se acerca a un punto finito a. Pero en muchas aplicaciones —modelos de crecimiento, análisis de señales, economía a largo plazo— nos interesa saber qué pasa cuando x crece indefinidamente: cuando x → +∞ o x → −∞.

Límites al infinito

lim[x→+∞] f(x) = L    significa que f(x) se acerca a L cuando x crece sin cota.
lim[x→−∞] f(x) = M    significa que f(x) se acerca a M cuando x se hace muy negativo.

Asíntotas horizontales

Cuando lim[x→±∞] f(x) = L (número finito), la recta y = L es una asíntota horizontal de f. La curva se acerca cada vez más a esa recta sin llegar a tocarla (aunque en algunos casos sí la cruza).

Una función puede tener hasta dos asíntotas horizontales distintas: una para x → +∞ y otra para x → −∞.

Reglas para límites al infinito de potencias

lim[x→∞] xⁿ = +∞    (para n > 0)
lim[x→∞] 1/xⁿ = 0    (para n > 0)
lim[x→∞] c = c        (constante)

Límites de funciones racionales al infinito

El truco más eficaz: dividir numerador y denominador por la potencia más alta del denominador.

Caso 1 — Grado numerador < grado denominador → límite = 0

lim[x→∞] (3x + 1) / (x² + 2) = lim (3/x + 1/x²) / (1 + 2/x²) = 0/1 = 0

Caso 2 — Grados iguales → límite = cociente de coeficientes principales

lim[x→∞] (4x² − 2x + 1) / (2x² + 5)
Dividir por x²:
= lim (4 − 2/x + 1/x²) / (2 + 5/x²)
= 4/2 = 2

Asíntota horizontal: y = 2.

Caso 3 — Grado numerador > grado denominador → límite = ±∞

lim[x→∞] (x³ + 1) / (x + 2) = ∞    (no hay asíntota horizontal)

Cuando el numerador tiene mayor grado, la función crece sin límite (puede haber asíntota oblicua).

Ejemplos con funciones no racionales

Exponencial

lim[x→∞] eˣ = +∞
lim[x→−∞] eˣ = 0    → asíntota horizontal y = 0 para x → −∞

Arcotangente

lim[x→+∞] arctan(x) = π/2
lim[x→−∞] arctan(x) = −π/2

Dos asíntotas horizontales: y = π/2 y y = −π/2.

Logaritmo

lim[x→∞] ln(x) = +∞    (no hay asíntota horizontal)
lim[x→0⁺] ln(x) = −∞   (asíntota vertical en x = 0)

Jerarquía de crecimiento

Una herramienta útil: cuando x → ∞, las funciones crecen a velocidades muy distintas. De más lenta a más rápida:

ln(x) ≪ xⁿ ≪ eˣ ≪ x! (factorial)

Esto significa, por ejemplo:

lim[x→∞] ln(x)/x = 0     (el logaritmo "pierde" contra x)
lim[x→∞] xⁿ/eˣ = 0      (cualquier potencia "pierde" contra eˣ)

Asíntota horizontal vs. asíntota vertical

Aplicación: modelos de saturación

En biología y economía, muchos fenómenos tienen un límite superior natural. Por ejemplo, la velocidad de una reacción química con exceso de sustrato sigue la ecuación de Michaelis-Menten:

v(S) = Vₘₐₓ · S / (Kₘ + S)

El límite cuando S → ∞ es Vₘₐₓ, que es la velocidad máxima de la enzima. La asíntota horizontal modela la saturación del sistema.

Resumen

Grado N < Grado D  →  lim = 0  (asíntota y = 0)
Grado N = Grado D  →  lim = a_n/b_n  (asíntota y = cociente)
Grado N > Grado D  →  lim = ±∞  (sin asíntota horizontal)