Límite de una sucesión

¿Hacia dónde se dirige una sucesión?

Una sucesión es una lista infinita de números. El límite de una sucesión describe su comportamiento a largo plazo: ¿sus términos se acercan a algún valor fijo cuando n crece? Si es así, la sucesión converge. Si no, diverge.

Definición

La sucesión {aₙ} tiene límite L si:

lim[n→∞] aₙ = L

Es decir, los términos aₙ se acercan arbitrariamente a L cuando n crece sin límite.

Una sucesión converge si tiene límite finito. Diverge si el límite es infinito, no existe o los términos oscilan.

Cálculo de límites de sucesiones

Sucesiones racionales: dividir por la potencia más alta

lim[n→∞] (3n² + n) / (2n² − 5)
Dividir por n²:
= lim (3 + 1/n) / (2 − 5/n²) = 3/2

Con raíces

lim[n→∞] √(n² + n) − n
Multiplicar por conjugado:
= lim n / (√(n²+n) + n) = lim 1 / (√(1+1/n) + 1) = 1/2

Exponencial

lim[n→∞] (1 + 1/n)ⁿ = e

Uno de los límites más famosos: define el número e.

lim[n→∞] rⁿ = { 0 si |r| < 1
              { 1 si r = 1
              { ∞ si r > 1
              { diverge si r ≤ −1

Propiedades de límites de sucesiones

Si lim aₙ = A y lim bₙ = B:

lim (aₙ ± bₙ) = A ± B
lim (aₙ·bₙ) = A·B
lim (aₙ/bₙ) = A/B  (B ≠ 0)
lim f(aₙ) = f(A)  (si f es continua en A)

Sucesiones divergentes

lim[n→∞] n² = +∞  (diverge a infinito)
lim[n→∞] (−1)ⁿ = no existe (oscila entre −1 y +1)
lim[n→∞] sen(n) = no existe (oscila sin convergir)

Criterio de la sucesión monótona acotada

Una sucesión monótona (siempre creciente o siempre decreciente) y acotada (sus términos no superan cierto valor) siempre converge. Este es uno de los teoremas de existencia más usados en análisis.

Conexión con límites de funciones

Si lim[x→∞] f(x) = L y aₙ = f(n), entonces lim aₙ = L. Esto permite usar la regla de L'Hôpital para calcular límites de sucesiones.

lim[n→∞] n^(1/n)
= lim[x→∞] x^(1/x) = lim e^(ln(x)/x) = e^0 = 1
(usando L'Hôpital en lim ln(x)/x = lim 1/x / 1 = 0)

Resumen