La integral definida y sus propiedades

De la intuición al cálculo preciso

Ya entendemos la integral definida como el área bajo una curva (sumas de Riemann). Ahora formalizamos sus propiedades algebraicas, que son las herramientas que permiten calcular integrales complejas descomponiéndolas en partes más simples.

La integral definida: definición formal

∫[a]^[b] f(x) dx = lim[n→∞] Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ)·Δx

Cuando este límite existe, se dice que f es integrable en [a, b]. Toda función continua en un intervalo cerrado es integrable en él.

Propiedades fundamentales

1 — Integral de una constante

∫[a]^[b] c dx = c·(b − a)

El área de un rectángulo de base (b−a) y altura c.

2 — Múltiplo constante

∫[a]^[b] c·f(x) dx = c·∫[a]^[b] f(x) dx

3 — Linealidad (suma/diferencia)

∫[a]^[b] [f(x) ± g(x)] dx = ∫[a]^[b] f(x) dx ± ∫[a]^[b] g(x) dx

4 — Aditividad de intervalos

∫[a]^[b] f(x) dx = ∫[a]^[c] f(x) dx + ∫[c]^[b] f(x) dx

Para cualquier c ∈ [a, b]. Útil para funciones definidas a trozos.

5 — Integral con límites invertidos

∫[a]^[b] f(x) dx = −∫[b]^[a] f(x) dx

6 — Integral sobre un punto

∫[a]^[a] f(x) dx = 0

7 — Desigualdad de la integral

Si f(x) ≤ g(x) en [a, b]:

∫[a]^[b] f(x) dx ≤ ∫[a]^[b] g(x) dx

8 — Acotación

Si m ≤ f(x) ≤ M en [a, b]:

m·(b−a) ≤ ∫[a]^[b] f(x) dx ≤ M·(b−a)

9 — Valor absoluto de la integral

|∫[a]^[b] f(x) dx| ≤ ∫[a]^[b] |f(x)| dx

Propiedades de simetría

Función par: f(−x) = f(x)

∫[−a]^[a] f(x) dx = 2·∫[0]^[a] f(x) dx

Ejemplo: ∫[−2]^[2] x² dx = 2·∫[0]^[2] x² dx = 2·[x³/3]₀² = 2·(8/3) = 16/3

Función impar: f(−x) = −f(x)

∫[−a]^[a] f(x) dx = 0

Las áreas positiva y negativa se cancelan exactamente. Ejemplo: ∫[−π]^[π] sen(x) dx = 0.

Aplicación de las propiedades: ejemplos

Ejemplo 1 — Usar linealidad

∫[1]^[3] (2x² − 5x + 4) dx
= 2∫x²dx − 5∫x dx + 4∫dx    (en [1,3])
= 2[x³/3]₁³ − 5[x²/2]₁³ + 4[x]₁³
= 2(9−1/3) − 5(9/2−1/2) + 4(2)
= 2·(26/3) − 5·4 + 8
= 52/3 − 20 + 8 = 52/3 − 12 = 16/3

Ejemplo 2 — Aditividad

∫[0]^[3] f(x) dx    donde f(x) = { x    si x ≤ 1
                                  { x²   si x > 1

= ∫[0]^[1] x dx + ∫[1]^[3] x² dx
= [x²/2]₀¹ + [x³/3]₁³
= 1/2 + (9 − 1/3) = 1/2 + 26/3 = 55/6

Resumen de propiedades clave

Las propiedades de la integral definida la convierten en una herramienta algebraica flexible. Permiten dividir problemas complejos, explotar simetrías, acotar valores y combinar integrales conocidas para obtener nuevas.