La antiderivada y la integral indefinida
Deshacer la derivada: la antiderivada
Si derivar es el proceso de encontrar f'(x) a partir de f(x), antiderivar es el proceso inverso: encontrar F(x) tal que F'(x) = f(x). A F se la llama antiderivada o primitiva de f.
Definición formal
F(x) es una antiderivada de f(x) si:
F'(x) = f(x)
Ejemplo: F(x) = x² es antiderivada de f(x) = 2x, porque (x²)' = 2x ✓.
Pero también G(x) = x² + 5 es antiderivada de 2x, porque (x² + 5)' = 2x ✓.
Y H(x) = x² − 17 también. Hay infinitas antiderivadas, todas diferenciadas por una constante.
La constante de integración
Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x) + C es la antiderivada más general, para cualquier constante C ∈ ℝ.
La integral indefinida
La integral indefinida de f(x) es el conjunto de todas sus antiderivadas:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Donde F'(x) = f(x) y C es la constante de integración.
Nota sobre la notación: el "dx" indica que la variable de integración es x. Cuando cambies de variable (como en integración por sustitución), el diferencial cambia también.
Tabla de integrales indefinidas básicas
| f(x) | ∫f(x)dx |
|---|---|
| xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln(a) + C |
| sen(x) | −cos(x) + C |
| cos(x) | sen(x) + C |
| sec²(x) | tan(x) + C |
| 1/√(1−x²) | arcsen(x) + C |
| 1/(1+x²) | arctan(x) + C |
Reglas de integración
Múltiplo constante:
∫ c·f(x) dx = c·∫ f(x) dx
Suma y diferencia:
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Regla de la potencia para integrales:
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — Polinomio
∫ (3x² − 4x + 7) dx = x³ − 2x² + 7x + C
Ejemplo 2 — Con raíces y potencias negativas
∫ (√x + 1/x²) dx = ∫ (x^(1/2) + x^(−2)) dx
= (2/3)x^(3/2) − x^(−1) + C
= (2/3)√(x³) − 1/x + C
Ejemplo 3 — Exponencial
∫ (2eˣ + 3x) dx = 2eˣ + (3/2)x² + C
Ejemplo 4 — Trigonométrica
∫ (cos(x) − 2sen(x)) dx = sen(x) + 2cos(x) + C
Verificación: siempre deriva el resultado
La forma más fiable de comprobar una integral es derivar el resultado:
∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C
Verificación: d/dx(x³ + x² + C) = 3x² + 2x ✓
Condición inicial: encontrar la constante C
Si conocemos un valor de F (llamado "condición inicial"), podemos determinar C.
Ejemplo: Encontrar F(x) si F'(x) = 2x − 1 y F(3) = 5.
F(x) = ∫(2x − 1)dx = x² − x + C
F(3) = 9 − 3 + C = 5 → C = −1
F(x) = x² − x − 1
La integral indefinida en física
En cinemática: si conocemos la aceleración a(t), integramos para obtener la velocidad v(t) = ∫a(t)dt + v₀, y de nuevo para la posición s(t) = ∫v(t)dt + s₀.
Las constantes C aparecen como condiciones iniciales: velocidad y posición en t = 0.