Intervalos de crecimiento y decrecimiento

¿Cuándo sube y cuándo baja una función?

Entender dónde crece y dónde decrece una función es esencial para trazar su gráfica, encontrar extremos y comprender su comportamiento. La derivada nos da exactamente esa información.

Criterio de monotonía

Teorema fundamental: - Si f'(x) > 0 en un intervalo → f es creciente en ese intervalo. - Si f'(x) < 0 en un intervalo → f es decreciente en ese intervalo. - Si f'(x) = 0 en todo un intervalo → f es constante.

Significado geométrico

• f'(x) > 0: la tangente tiene pendiente positiva → la curva sube.
• f'(x) < 0: la tangente tiene pendiente negativa → la curva baja.

Procedimiento para determinar intervalos de crecimiento

1. Calcular f'(x).
2. Encontrar los valores donde f'(x) = 0 o f'(x) no existe (valores críticos).
3. Estos valores dividen el dominio en intervalos.
4. Evaluar el signo de f'(x) en cada intervalo usando un valor de prueba.
5. Concluir creciente/decreciente según el signo.

Ejemplo completo

f(x) = x⁴ − 8x² + 3
f'(x) = 4x³ − 16x = 4x(x² − 4) = 4x(x − 2)(x + 2)

Valores críticos: x = −2, 0, 2.

Intervalos y signo de f'(x):

Conclusión: - Mínimos relativos en x = −2 y x = 2 (pasa de − a +). - Máximo relativo en x = 0 (pasa de + a −).

Función estrictamente creciente y decreciente

• Estrictamente creciente: si x₁ < x₂ implica f(x₁) < f(x₂).
• Estrictamente decreciente: si x₁ < x₂ implica f(x₁) > f(x₂).

Una función derivable con f'(x) > 0 en un intervalo es estrictamente creciente ahí (aunque la recíproca requiere más cuidado).

Ejemplos adicionales

Función racional

f(x) = x / (x² + 1)
f'(x) = [(x²+1) − x·2x] / (x²+1)²
      = (1 − x²) / (x²+1)²

• f'(x) > 0 cuando |x| < 1 → creciente en (−1, 1).
• f'(x) < 0 cuando |x| > 1 → decreciente en (−∞,−1) y (1,+∞).
• Máximo en x = 1: f(1) = 1/2. Mínimo en x = −1: f(−1) = −1/2.

Función trigonométrica

f(x) = sen(x) en [0, 2π]
f'(x) = cos(x)
cos(x) = 0 en x = π/2, 3π/2

• Creciente en (0, π/2): cos > 0.
• Decreciente en (π/2, 3π/2): cos < 0.
• Creciente en (3π/2, 2π): cos > 0.

Conexión con la inyectividad

Una función estrictamente creciente (o decreciente) en un intervalo es inyectiva ahí, lo que garantiza la existencia de su función inversa en ese intervalo. Esa es la razón por la que arcsen se define en [−π/2, π/2]: el seno es estrictamente creciente (e inyectivo) en ese intervalo.

Aplicaciones

• Economía: determinar si la demanda aumenta o disminuye al variar el precio.
• Biología: identificar periodos de crecimiento y declive poblacional.
• Química: encontrar en qué condiciones la concentración de un reactivo aumenta.
• Finanzas: analizar tendencias alcistas y bajistas en precios.

Resumen