Integrales de funciones trigonométricas

Integrar sen, cos y sus combinaciones

Las integrales de funciones trigonométricas aparecen en física (movimiento ondulatorio), ingeniería eléctrica (corriente alterna), termodinámica y teoría de señales. Dominarlas requiere conocer algunas identidades clave y patrones de reconocimiento.

Integrales básicas trigonométricas

∫ sen(x) dx = −cos(x) + C
∫ cos(x) dx = sen(x) + C
∫ sec²(x) dx = tan(x) + C
∫ csc²(x) dx = −cot(x) + C
∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x) + C
∫ csc(x)·cot(x) dx = −csc(x) + C
∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C = −ln|cos(x)| + C
∫ cot(x) dx = ln|sen(x)| + C
∫ sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C

Integrales de potencias de seno y coseno

Caso 1 — Potencia impar de seno: ∫senⁿ(x)dx con n impar

Separar un factor sen(x) y usar sen²(x) = 1 − cos²(x):

∫ sen³(x) dx = ∫ sen²(x)·sen(x) dx = ∫ (1−cos²x)·sen(x) dx
u = cos(x), du = −sen(x)dx:
= −∫ (1−u²) du = −u + u³/3 + C = −cos(x) + cos³(x)/3 + C

Caso 2 — Potencia par: usar identidades de doble ángulo

sen²(x) = (1 − cos(2x))/2
cos²(x) = (1 + cos(2x))/2

∫ cos²(x) dx = ∫ (1+cos(2x))/2 dx = x/2 + sen(2x)/4 + C
∫ sen²(x) dx = x/2 − sen(2x)/4 + C

Integrales de productos sen·cos

Usar sustitución directa

∫ sen(x)·cos(x) dx
u = sen(x), du = cos(x)dx:
= ∫ u du = u²/2 + C = sen²(x)/2 + C

Usar identidad de doble ángulo: sen(2x) = 2sen(x)cos(x)

∫ sen(x)·cos(x) dx = (1/2)∫ sen(2x) dx = −cos(2x)/4 + C

Ambas respuestas son equivalentes (difieren en constante).

Integrales de la forma ∫senⁿ·cosᵐ dx

Integrales de tan y sec

Potencias de tangente

∫ tan²(x) dx = ∫ (sec²(x)−1) dx = tan(x) − x + C
∫ tan³(x) dx = ∫ tan(x)·(sec²(x)−1) dx = tan²(x)/2 + ln|cos(x)| + C

Integrales con identidades de suma

Para integrales del tipo ∫sen(ax)·cos(bx)dx, usar:

sen(A)·cos(B) = [sen(A+B) + sen(A−B)] / 2
sen(A)·sen(B) = [cos(A−B) − cos(A+B)] / 2
cos(A)·cos(B) = [cos(A−B) + cos(A+B)] / 2

Ejemplo:

∫ sen(3x)·cos(5x) dx = (1/2)∫ [sen(8x) + sen(−2x)] dx
= (1/2)∫ [sen(8x) − sen(2x)] dx
= −cos(8x)/16 + cos(2x)/4 + C

Integrales trigonométricas en la práctica

En análisis de Fourier, toda señal periódica se descompone como suma de senos y cosenos, y los coeficientes de esa descomposición se calculan con integrales trigonométricas como las vistas aquí.

Resumen de identidades clave para integrar

sen²x + cos²x = 1
sen²x = (1 − cos 2x)/2
cos²x = (1 + cos 2x)/2
sen(2x) = 2 sen(x)cos(x)
tan²x = sec²x − 1