Integrales de funciones polinómicas

Integrar polinomios: el punto de partida del cálculo integral

Así como derivar polinomios fue el primer ejercicio práctico del cálculo diferencial, integrar polinomios es el primer ejercicio del cálculo integral. Y la buena noticia es que es igual de sistemático y predecible.

La regla de integración de potencias

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C    (n ≠ −1)

El proceso inverso a la regla de la potencia para derivadas: en lugar de bajar el exponente y multiplicar, subes el exponente y divides por el nuevo exponente.

Verificación

Derivando el resultado: d/dx[xⁿ⁺¹/(n+1)] = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ ✓

Integrar un polinomio general

∫ (aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀) dx = aₙxⁿ⁺¹/(n+1) + ... + a₁x²/2 + a₀x + C

Se integra término a término. La constante C se escribe una sola vez al final.

Ejemplos progresivos

Nivel básico

∫ x³ dx = x⁴/4 + C
∫ x dx = x²/2 + C
∫ 1 dx = x + C
∫ 7 dx = 7x + C

Polinomio completo

∫ (4x³ − 3x² + 2x − 5) dx = x⁴ − x³ + x² − 5x + C

Con coeficientes fraccionarios

∫ ((1/2)x² + (2/3)x + 1) dx = x³/6 + x²/3 + x + C

Integración de potencias fraccionarias y negativas

La regla funciona para cualquier n ≠ −1:

∫ x^(1/2) dx = x^(3/2) / (3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C
∫ x^(−3) dx = x^(−2) / (−2) + C = −1/(2x²) + C
∫ x^(−1/2) dx = x^(1/2) / (1/2) + C = 2√x + C

¡Cuidado con n = −1!

La regla NO funciona cuando n = −1 porque el denominador sería 0:

∫ x^(−1) dx = ∫ (1/x) dx = ln|x| + C

Este es un caso especial que merece su propia fórmula.

Aplicación: encontrar una función dado un dato

Ecuación diferencial simple

Problema: Una función f satisface f'(x) = 6x² − 4x + 1 y f(2) = 5. Encontrar f(x).

f(x) = ∫(6x² − 4x + 1) dx = 2x³ − 2x² + x + C
f(2) = 16 − 8 + 2 + C = 5
10 + C = 5
C = −5
f(x) = 2x³ − 2x² + x − 5

Aplicación en física: cinemática

De aceleración a posición

Un objeto tiene aceleración a(t) = 6t − 2 m/s². Si v(0) = 4 m/s y s(0) = 0:

v(t) = ∫(6t − 2) dt = 3t² − 2t + C₁
v(0) = 4 → C₁ = 4
v(t) = 3t² − 2t + 4

s(t) = ∫(3t² − 2t + 4) dt = t³ − t² + 4t + C₂
s(0) = 0 → C₂ = 0
s(t) = t³ − t² + 4t

Integral definida de un polinomio

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo:

∫[a]^[b] f(x) dx = F(b) − F(a)

Donde F es la antiderivada de f.

Ejemplo

∫[1]^[3] (x² + 2x) dx
F(x) = x³/3 + x²
F(3) = 9 + 9 = 18
F(1) = 1/3 + 1 = 4/3
∫ = 18 − 4/3 = 54/3 − 4/3 = 50/3

Errores frecuentes al integrar polinomios

• Olvidar dividir por el nuevo exponente: ∫x³dx = x⁴ (incorrecto); debe ser x⁴/4 + C.
• Olvidar la constante C en integrales indefinidas.
• Intentar aplicar la regla de potencias cuando n = −1.
• Sumar las constantes de cada término en lugar de escribir una sola C al final.

Resumen: reglas para integrar polinomios